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どのような正整数m、n に対しても、
和 S (m,n) = 1/m + 1/(m+1) + ........ + 1/(m+n)
は整数でないことを示せ。
解答
・わたしの
整数なら...a/b=k
a=b*k≡x mod n
分母は...m≡g mod n とすると...
1〜n まで足すので...(g+1)*(g+2)*...*(g+n)≡0 になってるはず...
なぜなら...g+α≡0 となるαが必ず存在するから...(余りの原理から)
つまり...b*k≡0 mod n
しかし...
分子は...分母が 1/(g+α) の項以外の分子は mod n で 0 だが...
1/(g+α) の項の分子だけは...mod n で 1*2*...*(α-1)*(α+1)*...*n なので...分子全体では 0 にならない...
これは...
a≡b*k≡0 に反するので...
与式は整数にはならない ^^
でいいかな...?
・友人からのもの
S(m,n) が整数になったと仮定する。
l=lcm(m,m+1,...,m+n) とおく。m,n ≧ 1 なので l は偶数であり、
lS(m,n)=l/m + l/(m+1) +...+ l/(m+n)
が成り立つ。
仮定より左辺は偶数なので、右辺には少なくとも２つの奇数 l/(m+i1), l/(m+i1) (ただし i1 < i2 とする) が存在する。
d を 2^d || l となるようにとると、これらは奇数 k1, k2 を用いて m+i1=2^d*k1, m+i2=2^d*k2 と書ける。
このとき 2^d*(k1+1) は m+i1 と m+i2 の間の数なので m, m+1,..., m+n のいずれかに等しく、
k1 が奇数なので 2^(d+1) で割り切れる。よって 2^(d+1) | l でなければならないが、これは d の取り方に反する。以上より示された。
*よくわからん...^^;...
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