アットランダム≒ブリコラージュ

4128：15を割って2桁の小数...

問題4128・・・算数にチャレンジ !! Ver3 http://arot.net/challenge/ より Orz〜

15をある整数Ａで割ると、小数第2位までの小数となって割り切れました。
整数Ａとして考えられる数は、何個ありますか？

解答

・わたしの

 

15/x=m/100

x>15

m は 1桁 or 2桁の10の倍数ではない

 

m*x=1500=3*2^2*5^3

m=1,2,3,4,5,6,3*2^2=12,3*5=15, 5^2=25, 3*5^2=75

の、10個

でいいのかな...?

4127：整数...-q ≦ b ≦ 0 ≦ a ≦ p ...

問題4127(東大入試 5)

p, q を２つの正の整数とする。整数 a, b, c で条件

-q ≦ b ≦ 0 ≦ a ≦ p,    b ≦ c ≦ a

を満たすものを考え、このような a, b, c を [a, b, ; c] の形に並べたものを (p, q) パターンと呼ぶ。

各 (p, q) パターン [a, b ; c] に対して

w ( [a, b ; c] ) = p - q - (a+b)

とおく。

(1) (p, q) パターンのうち、w ( [a,b ; c] ) = - q となるものの個数を求めよ。

　また、w ( [a, b ;c] ) = p となる (p, q) パターンの個数を求めよ。

以下、p = q の場合を考える。

(2) s を整数とする。(p, q) パターンで w ([a, b ; c] ) = -p + s となるものの個数を求めよ。

(3) (p, q) パターンの総数を求めよ。

解答

・わたしの

(1)

w=p-q-(a+b)=-q+p-(a+b)=-q...

p=a+b であればよい...

0≦a≦p, b≦0 なので...a+b≦p...等号は、a=p, b=0 のときだけ...1通り。

w=p-q-(a+b)=p...

-q=a+b

-q≦b≦0, 0≦a なので...-q≦a+b...等号は、a=0, b=-q のときだけ...1通り。

(2) 以降はまた考えてみます...^^;...

4126：△の残りの１辺の長さ...

問題4126・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23696207.html ;より Orz〜

　AB＝11，AC＝15 の△ABCと頂点Ａを通る円があり、辺AB，ACとの交点をＤ，Ｅとします。
AD＝4，AE＝10 で、BEとCDの交点Ｆがこの円周上にあるとき、BC＝？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23816378.html#23816702 より Orz〜

[解答1] wind156さん・uch*n*anさん・再出発さんのコメントより 

△ADCと直線BEにおいてメネラウスの定理より、
(AB/BD)(DF/FC)(CE/EA)＝1 、(11/7)(DF/FC)(5/10)＝1 、DF/FC＝14/11 から
DF＝14c，FC＝11c とおけます。

また、方べきの定理より、CF･CD＝CE･CA 、11c･25c＝5･15 、c²＝3/11 です。
△ADCに対して余弦定理より
cos∠A＝{4²＋15²−(25c)²}/(2･4･15)＝97/165 、
△ABCに対して余弦定理より
BC²＝11²＋15²−2･11･15cos∠A＝152 、BC＝2√38 です。

☆ 同じことですが、△AEBと直線CDにおいてメネラウスの定理より、
(AC/CE)(EF/FB)(BD/DA)＝1 、(15/5)(EF/FB)(7/4)＝1 、EF/FB＝4/21 から
EF＝4b，FB＝21b とおけます。
また、方べきの定理より、BF･FE＝BD･DA 、21b･25b＝7･11 、b²＝11/75 です。
△ABEに対して余弦定理より
cos∠A＝{11²＋10²−(25b)²}/(2･11･10)＝97/165 です。

☆ また、b²c²＝(11/75)(3/11)＝1/25 より bc＝1/5 、
△CEFに対して余弦定理より
cos∠CFE＝{(11c)²＋(4b)²−5²}/(2･11c･4b)＝97/165 です。
もちろん、△BDFに対して余弦定理より cos∠BFD も求められます。


[解答2]

△BFDの外接円とBCの交点をＧとすると、
∠FGB＝∠FDA＝∠FEC だから、四角形FGCEも円に内接します。

方べきの定理より、
BG･BC＝BF･BE＝BD･BA＝7･11＝77
CG･CB＝CF･CD＝CE･CA＝5･15＝75
よって、(BG＋CG)･BC＝77＋75 、BC<SUR>2</SUR>＝152 、BC＝2√38 になります。

*解法２は鮮やかね♪

ちなみにわたしは延々と...^^;...

BC^2=11^2+15^2-2*11*15*cosA

DE^2=4^2+10^2-2*4*10*cosA
=FE^2+FD^2+2*FE*FD*cosA
BF/FE=(7/4)/(5/15)=(15*7)/20=21/4

CF/FD=5/(10*(7/11)=55/70=11/14
BF*BE=BF*(BF+FE)=(21/4)*(25/4)*FE^2=7*11

FE^2=7*11*4^2/(21*25)=11*4^2/(3*5^2)

CF*CD=CF*(CF+FD)=(11/14)*(25/14)*FD^2=5*15

FD^2=5*15*14^2/(11*25)=3*14^2/11

16+100-80*cosA=(11*16/3*25)+(3*14^2/11)-2*(4*√11/5√3)(14*√3/√11)*cosA
=(176/75)+(588/11)+(2*4*14/5)*cosA
(80+112/5)*cosA=116-(176/75)-(588/11)
cosA=(5/512){116-(176/75)-(588/11)}
=1552/16*15*11=97/15*11
BE^2=11^2+15^2-2*11*15*cosA

=121+225-2*97
=346-194
=152

BE=√152=2√38

疲れ果てました...Orz...

4125：不等式の証明...

問題4125(京大入試 4)

n は 2 以上の整数であり、1/2 < a( j ) < 1 (j=1, 2, ..., n ) であるとき、不等式

(1 - a(1)) (1 - a(2)) ・・・・(1 - a(n)) > 1 - ( a(1) + a(2)/2 + ・・・+ a(n)/2^(n-1) )

が成立することを示せ。

解答

・わたしの

1 > 1/2+1/4+...+1/2^(n-1)

1-a(k)=b(k) < 1/2

b(1)*b(2)*...*b(n) < (1-a(1)+(1/2)(1-a(2)+...+(1/2^(n-1)(1-a(n))-1

けっきょく...

1+b(1)*b(2)*...*(b(n) < b(1)+b(2)+...+b(n) を言えばよい...

b(1)+(1/2)*b(2)+...+(1/2^(n-1)*b(n) < 1/2+1/4+...+1/2^n <1< 1+b(1)*b(2)*...*b(n)

なので...証明できた♪

4124：球と平面...

問題4124(京大入試 5)

xyz空間で、原点 0 を中心とする半径√6 の球面 S と 3点 (4,0,0), (0,4,0), (0,0,4) を通る平面 α が共有点を持つことを示し、点 (x, y, z) がその共有点全体の集合を動くとき、積 xyz が取り得る値の範囲を求めよ。

解答

・わたしの

平面の式の表し方忘れたけど...^^;

ようは、45°に傾いた正三角形を考えて...原点からその重心までの距離を考えると...

3*(2*(2/3))^2=16/3 < 18/3=6

なので...重心を中心にして半径 r

r^2+16/3=6

r^2=2/3

ここからわからない...^^;...

いい加減かもしれないけど...

上の円の点は(x-4/3)^2+(y-4/3)^2+(z-4/3)^2=2/3

これは、x^2+y^2+z^2=6 も満たす。

このとき、xyz=？　ってことなら...

(8/3)(x+y+x)=6-2/3+3*(4/3)^2=32/3

x+y+z=4

x^2+y^2+z^2=6

(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=4^2-2(xy+yz+zx)=6

xy+yz+zx=5

ここからわからない...^^;...

                             =