アットランダム≒ブリコラージュ

4158：大工さん...穴塞ぎ...

問題4158(友人問)

壁に開いた12センチ平方の穴をふさぐ。

あいにく幅9センチ、長さ16センチの長方形の板しかない。

大工が2つに切ってぴたりとふさいだ。

どのように切ったか。

解答

・わたしの

4157：ガウス記号...和...

問題4157・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24004940.html#24004940 より Orz〜

　[√1]＋[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋……＋[√244]＋[√245]＝？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24123734.html より Orz〜

[解答1]

[√1]＝[√2]＝[√3]＝1、 　 　 　 　[√1]＋[√2]＋[√3]＝1･3＝1(2･1＋1) 、

[√4]＝[√5]＝……＝[√8]＝2、 　 　 [√4]＋[√5]＋……＋[√8]＝2･5＝2(2･2＋1) 、

[√9]＝[√10]＝……＝[√15]＝3、 　 　[√9]＋[√10]＋……＋[√15]＝3･7＝3(2･3＋1) 、

……………………………………………………

[√196]＝[√197]＝……＝[√224]＝14、 [√196]＋[√197]＋……＋[√224]＝14･29＝14(2･14＋1) 、

[√225]＝[√226]＝……＝[√245]＝15、 [√225]＋[√226]＋……＋[√245]＝15･21 、

よって、その和は、

1(2･1＋1)＋2(2･2＋1)＋3(2･3＋1)＋……＋14(2･14＋1)＋15･21

＝2(1²＋2²＋3²＋……＋14²)＋(1＋2＋3＋……＋14)＋315

＝2･14･15･29/6＋14･15/2＋315＝2030＋105＋315＝2450 となります。


[解答2]

[√0]＋[√1]＋[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋……＋[√244]＋[√245] と[√0]を加えて、

[√245]＝15 で、全部の項を 15 と考えると、15･246＝3690 になります。

[√224] までの 225 個は１小さく、[√195] までの 196 個は更に１小さく、……

[√3] までの 4 個は更に１小さく、[√0] の 1 個は更に１小さいので、

その和は、

3690−(15²＋14²＋13²＋……＋2²＋1²)

＝3690−15･16･31/6＝3690−1240＝2450 となります。

☆ このようにして求めれば、

[√0]＋[√1]＋[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋……＋[√(n−1)]＋[√n]

＝(n＋1)[√n]−[√n]([√n]＋1)(2[√n]＋1)/6＝n[√n]−[√n]([√n]−1)(2[√n]＋5)/6

*熟読玩味...

・uch*n*anさんのコメ Orz〜

[解答2]は，なるほど，です。
ただ，実は似たようなことも考えてはいました。
y = √x 又は y = x に対称な y = x^2 のグラフとその回りの格子点を数える解法です。
y = x^2 の方で説明すれば，
y = x^2 と y軸 の間を数えるのが[解答1]，y = x^2 と x軸 の間を数えるのが[解答2]，
になります。ただ，どちらも二乗の和を計算する手間は同じなので，似たようなものか，
と思って，解答時には書きませんでした。まぁ，若干計算が楽かなぁ。
なお，当然ですが，[解答1]の一般化も容易で，同じ結果になります。

・やどかりさんのコメ Orz〜

[解答1]と[解答2]を合わせると公式が導けます。
そこまで書く必要がないと思って、省略しましたが、
1^2＋2^2＋……＋n^2＝S として、
[√0]〜[√(n^2−1)]の和を、
[解答1]で求めると、1(2･1＋1)＋2(2･2＋1)＋……＋(n−1){2(n−1)＋1}
＝2(S−n^2)＋(n−1)n/2
[解答2]で求めると、n^3−S だから、
2(S−n^2)＋(n−1)n/2＝n^3−S、
こうして、Ｓをｎの式で表せます。

*ちなみにわたしは解法1でした...

1^2:1~3
2^2:4~8
...
15^2:225~245
Σk((K+1)^2-k^2)=Σk(2k+1)
2Σk^2+Σk=14*15*29/3+7*15=2030+105
15*(245-224)=15*21=315
2030+105+315=2450

4156：6 & 9 進法の桁数が同じ数の個数...

問題4156・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org/ より Orz〜

１０進法で９９２と表される数は、６進法では４３３２、９進法では１３２２で表されます。

このように、６進法で表した場合と、９進法で表した場合とで、ケタ数が同じになる整数はいくつあるでしょうか。（答えは１０進法でお答えください）

解答

上記サイトより Orz〜

・わたしの

6^5-1-9^4=1214 
6^4-1-9^3=566 
6^3-1-9^2=134 
6^2-1-9=26 
6-1-1=4 
(4+1)+(26+1)+(134+1)+(566+1)+(1214+1)+1=1950 
最後の1個は０ 

・uchinyanさんのもの Orz〜

○進法って算数なのか微妙かも，という感じもしますが，こんな感じで。ただ，数学っぽくなってしまいました。 

まず，0 を含めた 0 以上の整数で考えます。 
このとき，例えば，10進法で 4 桁以下の数は 10^4 より小さい数で，0 を含めれば 10^4 個あります。 
同様に，例えば，6 進法で 4 桁以下の数は 6^4 個，9 進法で 3 桁以下の数は 9^3 個，あるので， 
6 進法でも 9 進法でも 4 桁の数は 6^4 - 9^3 個，あります。 
そこで，順次， 
6 進法で 1 桁以下の数は 6^1 個，6 進法でも 9 進法でも 1 桁の数は 6^1 = 6 個。 
6 進法で 2 桁以下の数は 6^2 個，9 進法で 1 桁以下の数は 9^1 個，なので， 
6 進法でも 9 進法でも 2 桁の数は 6^2 - 9^1 = 36 - 9 = 27 個。 
6 進法で 3 桁以下の数は 6^3 個，9 進法で 2 桁以下の数は 9^2 個，なので， 
6 進法でも 9 進法でも 3 桁の数は 6^3 - 9^2 = 216 - 81 = 135 個。 
6 進法で 4 桁以下の数は 6^4 個，9 進法で 3 桁以下の数は 9^3 個，なので， 
6 進法でも 9 進法でも 4 桁の数は 6^4 - 9^3 = 1296 - 729 = 567 個。 
6 進法で 5 桁以下の数は 6^5 個，9 進法で 4 桁以下の数は 9^4 個，なので， 
6 進法でも 9 進法でも 5 桁の数は 6^5 - 9^4 = 7776 - 6561 = 1215 個。 
これ以降は，例えば， 
6 進法で 6 桁以下の数は 6^6 個，9 進法で 5 桁以下の数は 9^5 個，なので， 
6 進法でも 9 進法でも 6 桁の数は 6^6 - 9^5 = 46656 - 59049 < 0 
となって，6 進法と 9 進法の桁数が同じになる数はありません。 
以上より，算数では 0 を除くらしい (^^; ので，答えは，6 + 27 + 135 + 567 + 1215 - 1 = 1949 個，になります。

4155：余り...

問題4155・・・某サイト問 Orz〜

自然数nがあり、n+11は7の倍数、n+7は11の倍数とする。nを77で割った余りを求めよ。

解答

・わたしの

n+11 が 7の倍数...n≡3　mod 7

n+7 が 11の倍数...n≡4　mod 11

n-3 は7の倍数

n-4 は11の倍数

n-3=7t

n-4=11s

7t+3=11s+4

t=s+(4s+1)/7

s=7k-2

t=7k-2+4k-1=11k-3

n=7t+3=7(11k-3)+3=77k-18

けっきょく...

-18 or 77-18=59

もっと簡単に言えないんだろうか...?