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0≦x≦3 の範囲で、f(x)＝2x2−4x＋6 ，g(x)＝−x2＋4x＋2p と定めます。
次のそれぞれの条件を満たす場合の定数項ｐの最大の値は？ ただし、ａ,ｂについては、0≦a≦3 ，0≦b≦3 の範囲の実数で考えるものとします。 (1) 任意のａ,ｂについて f(a)≧g(b) を満たす場合 (2) 任意のａについて f(a)≧g(b) を満たす実数ｂが存在する場合 (3) 任意のｂについて f(a)≧g(b) を満たす実数ａが存在する場合 (4) f(a)≧g(b) を満たすａ,ｂが存在する場合 [追加]
(a) 任意のａについて f(a)≧g(a) を満たす場合 (b) f(a)≧g(a) を満たすａが存在する場合 解答
上記サイトより Orz〜
まず、0≦x≦3 の範囲での最大値・最小値を求めておきます。
f(x)＝2x2−4x＋6＝2(x−1)2＋4 だから、 x＝3 のとき、最大値 12 、x＝1 のとき、最小値 4 。 g(x)＝−x2＋4x＋2p＝−(x−2)2＋4＋2p だから、 x＝2 のとき、最大値 4＋2p 、x＝0 のとき、最小値 2p 。 (1) f(x)の最小値≧g(x)の最大値 という意味で、4≧4＋2p 、p≦0 になります。 (2) f(x)の最小値≧g(x)の最小値 という意味で、4≧2p 、p≦2 になります。 (3) f(x)の最大値≧g(x)の最大値 という意味で、12≧4＋2p 、p≦4 になります。 (4) f(x)の最大値≧g(x)の最小値 という意味で、12≧2p 、p≦6 になります。 従って、ｐの最大の値は、(1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 です。 f(x)−g(x)＝3x2−8x＋6−2p＝3(x−4/3)2＋2/3−2p だから、 x＝3 のとき、最大値 9−2p 、x＝4/3 のとき、最小値 2/3−2p 。 (a) f(x)−g(x)の最小値≧0 という意味で、2/3−2p≧0 、p≦1/3 になります。 (b) f(x)−g(x)の最大値≧0 という意味で、9−2p≧0 、p≦9/2 になります。 *面白い問題だったなぁ ^^
ちなみにわたしの...
(1) 任意のａ,ｂについて f(a)≧g(b) を満たす場合
f(x)=2(a-1)^2+4 g(x)=-(x-2)^2+2p+4 f(a)-g(b)=2(a-1)^2+(b-2)^2-2p ≧ 0 任意の a,b で成り立つには... (a-1)=(b-2)=0 で成り立てばよいので... 0 ≧ 2p p の最大値=0 (2) 任意のａについて f(a)≧g(b) を満たす実数ｂが存在する場合 f(a)-g(b)=2(a-1)^2+(b-2)^2-2p ≧ 0 任意の aで成り立つには...a-1=0 (b-2)^2 ≧ 2p ≧ 0 (b-2)^2 の最大値は...b=0 のときで...4 ≧ 2p pの最大値=2 (3) 任意のｂについて f(a)≧g(b) を満たす実数ａが存在する場合
f(a)-g(b)=2(a-1)^2+(b-2)^2-2p ≧ 0 任意の bで成り立つには...b-2=0 2(3-1)^2=8 ≧ 2p ≧ 0 p の最大値=4 (4) f(a)≧g(b) を満たすａ,ｂが存在する場合 f(a)-g(b)=2(a-1)^2+(b-2)^2-2p ≧ 0 a,b が存在するときは... 2(3-1)^2+(0-2)^2-2p=8+4-2p ≧ 0 12 ≧ 2p p の最大値=6 追加問
・「任意の a について f(a) >= g(a)」の場合...
f(a)-g(a)=2(a-1)^2+(a-2)^2-2p ≧ 0 3a^2-8a+6-2p ≧ 0 3(a-4/3)^2+6-16/3-2p ≧ 0 2/3 ≧ 2p p の最大値=1/3 ・「f(a) >= g(a) となる a が存在」の場合... 3(a-4/3)^2+6-16/3-2p ≧ 0 3(3-4/3)^2+2/3=3*(5/3)^2+2/3=25/3+2/3=9 ≧ 2p p の最大値=9/2 |
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