アットランダム≒ブリコラージュ

4130：3桁の数...

問題4130・・・Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/mondai/mondai171.htm より Orz〜

１．正整数ｎに対して、ｎを十進表示したときの各桁の数字の和をａ(ｎ)で表す。

　　ａ(１)＋ａ(２)＋・・・＋ａ(９９９)　を求めよ。

２．正整数ｎに対して、ｎを十進表示したときの０でない各桁の数字の積をｂ(ｎ)で表す。

ｂ(１)＋ｂ(２)＋・・・＋ｂ(９９９)　を求めよ。 

問題の出典

ジュニア数学オリンピック 2003-2008
数学オリンピック財団　編

解答

上記サイトより Orz〜

・わたしの

(1) 
000〜999 までの各桁の数字の和なので...
Σa(n)=(1+2+...+9)*10²*3=45*3*100=13500

(2) 
0 ：1〜9...;2+...+9=45
10〜90 ：(1+2+...+9)*45=45²
100〜900 ：(1+2+...+9)*45²=45³

0でない桁の積も加える…
0 が1個のとき…二桁のときと三桁のとき...45+2*45²
0 が2個のとき...三桁のとき…45

けっきょく...
Σb(n)=3*45+3*45²+45³=97335

・迷子の雄猫さんのもの Orz〜

１．
ａ(０)＝ａ(０００)＝０　ａ(１)＝ａ(００１)＝１であるので、
ａ(１)＋ａ(２)＋・・・＋ａ(９９９)を求める代わりに、 ａ(０００)＋ａ(００１)＋ａ(００２)＋・・・＋ａ(９９９)を求めても同じである。

さて、１の位だけ考えてみよう。
ａ(？？０)＋ａ(？？１)＋ａ(？？２)＋・・・＋ａ(？？９)は、
ａ(１２３４５６７８９）であるので４５。？？の部分は００〜９９までの１００個あるので 合計は４５００である。１０の位、１００の位も同様であるので、答えは１３５００。

２．
さて、ｂ（０）＝１、ｂ（１）＝ｂ（００１）＝１である。
１の位だけ考えてみよう。
ｂ(？？０)＋ｂ(？？１)＋ｂ(？？２)＋・・・＋ｂ(？？９)は、
ｂ(？？）の４６倍。？？の部分は００〜９９までの１００個ある。
ｂ(？０)＋ｂ(？１)＋ｂ(？２)＋・・・＋ｂ(？９)は、ｂ(？）の４６倍。
？の部分は０〜９までの１０個ある。
よって結局、ｂ(０)＋ｂ(１)＋ｂ(２)＋・・・＋ｂ(９９９)は、４６の三乗で９７３３６。
よってｂ(１)＋ｂ(２)＋・・・＋ｂ(９９９)は９７３３５。 

・falcon@中学教師さんのもの Orz〜

＜答え＞
（１）１３５００
（２）９７３３５

＜考え方＞
（１）
上２桁が00であるnについて、a(n)の総和は４５
上２桁が01であるnについて、a(n)の総和は５５
・
・
・
上２桁が09であるnについて、a(n)の総和は１３５
さらにこれらの総和、つまり上１桁が0であるnについてのa(n)の総和は９００となる。
同様にして上1桁がmであるnについてのa(n)の総和を求め、c(m)と表現することにする。

a(1)+a(2)+・・・+a(999)
=c(0)+c(1)+・・・+c(9)
=900+1000+・・・+1800
=13500

（２）
それぞれの位の数は０〜９であり、3桁の位の数をかけたものの総和は、 (0+1+2+・・・+9)の３乗になる。
しかし、今回の問題では０は無視するので、位に０が現れたときは代わりに１をかけていると考えると、 (1+1+2+・・・+9)の３乗になる。
さらにこれではn=000という数字を考えているので、１を引く。
よって
b(1)+b(2)+・・・+b(999)
=(1+1+2+・・・+9)³-1
=46³-1
=97336-1
=97335 

・tekiさんのもの Orz〜

１　　１３５００
これは単純ですね。
０〜９が１００個ずつ各桁にあるので、４５×１００×３＝１３５００

２　　９７３３５
まともに計算するにはプログラムでも組まないと無理ですが、 ちょっと工夫すれば何とか計算できます。
１〜９９９ではなく、０〜９９９で考えます。
０〜９９９を無理矢理３桁にします。（０→０００、１→００１・・・・・・・・）
で、この０を１に置き換えます。
すると、１１１，１１１，１１２・・・・・・・９９９となりますが、これの各桁は１＋４５＝４６です。
よって題意の合計は、４６×４６×４６−１＝９７３３５。（最後の−１は０の分） 

・マシャさんのもの Orz〜

1【解答】
a(0) = 0 なのでa(0) + … + a(999)を考えても良い
各桁に表れる数字の個数を考えると 000から999までなので, それぞれ100個ずつ現れる.
最大桁数は3桁なので3通り存在する.
(0+1+…+9)*100*3 = 13500
答え 13500

【過程】
まず例にいくつか値を求めようと
a(1) = 1
a(9) = 9
a(10) = 1+0
a(11) = 1+1
と"縦"に書いたら 「横に考えるのではなく縦に考えたら？」 と思い, 数字の出現パターンに気がつきました.

2【解答】
各桁に0が表れる個数によって場合分けする.
(但し, 1, 10などは001, 010と考える)
(i) 0が3個の場合
000のみなので
0

(ii)0が2個の場合
001から009とその0の位置に関して3通りなので
(1+…+9)*3

(iii)0が1個の場合
011から099とその0の位置に関して3通りなので 積の和を以下のように因数分解できる
(1+…+9)*(1+…+9)*3

(iv)0が0個の場合
(iii)と同様に考えて
(1+…+9)*(1+…+9)*(1+…+9)

(i)から(iv)より
0+(1+…+9)*3+(1+…+9)*(1+…+9)*3+(1+…+9)*(1+…+9)*(1+…+9)
={(1+…+9)+1}³ - 1
=97335

答え 97335

・ちょろんは太太さんのもの Orz〜

(1)
a(n)+a(999-n)を考える。
ｎのそれぞれの位の数を s, t, u とすれば、999-n のそれぞれの位は、9-s, 9-t, 9-u
a(n)+a(999-n)=s+t+u+(9-s)+(9-t)+(9-u)=27
よって、
a(1)+a(2)+･･･+a(998)+a(999)=(27×998)/2+a(999)=27×500=13500

(2)
100の位をs、10の位をt、１の位をuとしたとき、 999までの正の整数は、s=0,1,…8,9t=0,1,…8,9u=0,1,…8,9から　 s、t、uを一つずつ取り出したすべての組み合わせ。ただし、s=t=u=0は除く。
s、t、uのすべての組み合わせの積s×t×uの総和は、
 (sの総和)×(tの総和)×(uの総和)　ただし、s=t=u=0の分は差し引く。
また、数字が0である場合は、ｂ(n)は、それ以外の数の積とするので、 0は、'1'の積として作用する。以上をまとめると、
(b(1)+b(2)+･･･+b(998)+b(999)
＝(1+1+2+3+･･･+8+9)×(1+1+2+3+･･･+8+9)×(1+1+2+3+･･･+8+9)-b(000)
＝46×46×46-1=97335 

*各桁の数字の積を求める巧そうな方法あるのねぇ♪ 熟読玩味〜^^;v

4129：筏...浮力...

問題4129・・・ちょっと真面目な中学教員 http://www2.nkansai.ne.jp/users/yoshioka/challe_f.htm より Orz〜

よしおくんは、川の水面を丸太を組んで筏（いかだ）を流そうと思います。この時、筏の重さが１１００ｋｇあり、この木材の密度は0.55g/cm³であることが分かっています。この筏に、体重が８０kgのよしお君が筏に乗って運びます。

ここで問題です。
この時、木材の何％が水に沈んでいるでしょうか。

【アルキメデスの定理】
ギリシャの数学者アルキメデスが発見した浮力の原理です。
この定理は、液体につかった物質はすべての物質が押しのけた分だけの液体の重さに等しい力によって上へと押されている物体に働く浮力の大きさのぶんだけ軽くなる現象です。
つまり、この問題の場合、いかだが排除した水の体積に相当する水の重さ

（水の比重は1g/cm³）が重力と正反対に作用することです。 

*ユーレカってお風呂で叫んだのは有名ですよね ^^

解答

・わたしの

(80/1100)*(0.55/100)=0.04
つまり...0.55+0.04=0.59
59%だけ沈む♪
懐かしい理科の問題 ^^v

春雨...

見慣れた景色が壊されてた...なんだか...悲しい...^^;...

温ったかいのか...寒いのか...よくわからない天気が続いてます...^^;

内なるパッションも萎えやすい今日この頃です...

ベースの信頼関係ってのが不安定な状況で生き続けてるからなんだろうなぁって思ってます...

いくら話しても、伝わりゃしないんですよね...

最後は、相手を如何に信頼してるかってところに関わって来る...

自分の相手への信頼感に担保されてる...

まぁ...一種の賭けみたいなものですが...^^;...

でも、生きてるって賭けみたいなものなんですよね?

これでいいのかっていくら考えたって答なんてないのが人生...

自分で諦める?...

消極的な諦観は嫌だから...積極的な諦めっていうか...自分を信じて突き進むしかないのよね!!

上はいくらでも上があるんだから、それを目指して登っていくわけ...

下も多分幾らで下がありそうだけど...絶対０℃のように...ボトムってのはありそうな気がする...?

ここまで登ったから、もういいや、と思ったところがその人の限界...

限界なんてないんだって、ある先輩はおっしゃる...

生きてるだけで儲けものなんだって...^^

人生のステージはいま始まったばかりなんだって思える歳じゃないよなぁって思うようになったわたし...

棄権しそう...危険思想...^^;...いけない、いけない...

ゴールのテープを切るまで走り続けよう...

できるだけ高みに登って...見晴らしのいい景色を眺めたい♪

落ちてもまた登り始めりゃいいだけのことさね!!

けっして...シジフォスだなんて思わないようにしよう...

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/シーシュポス より Orz〜

「シーシュポス（Σίσυφος, Sisyphus）は、ギリシア神話に登場する人物である。長音表記を略してシシュポス、シジフォス、シシュフォスとも。コリントスの創建者。徒労を意味する「シーシュポスの岩」で知られる。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/シーシュポスの神話 より

「『シーシュポスの神話』（フランス語: Le Mythe de Sisyphe）はアルベール・カミュの随筆。理由は不明確だが、シーシュポスは神々の怒りを買ってしまい、大きな岩を山頂に押して運ぶという罰を受けた。彼は神々の言い付け通りに岩を運ぶのだが、山頂に運び終えたその瞬間に岩は転がり落ちてしまう。同じ動作を何度繰り返しても、結局は同じ結果にしかならないのだった。カミュはここで、人は皆いずれは死んで全ては水泡に帰す事を承知しているにも拘わらず、それでも生き続ける人間の姿を、そして人類全体の運命を描き出した。」

彼だって...そんなこと思ったら...穴を岩で埋める作業は止めちゃっただろうから...

彼は、穴を埋めることで、彼のこころの穴も埋めていたんだよ...きっと...

すべてには意味があることと信じよう...

すべてに意味がないってことを思うことにも意味がないんだとしたら...

意味はあるんだって思った方が意味がある ^^...なははっ...

囲碁にどんな意味がある...?

勝てば楽しいって域を脱してる...

自由度が大きいところが好きで...死んだって...また打てばいい...

毎回違う場面になっちゃう...次はどんな景色が見れるんだろうって...

ワクワクできるところが好きなんだ♪

囲碁に意味はない...

でも...好き♪

意味があることと、好き嫌いは別次元...

意味がなくって、好きでないのは最低...^^;...

わたしは...意味に拘ってたけど...わくわくできればそれだけでいいみたいだなぁ...^^;v

わけわからんこと書いちゃった...Orz...

無意味なる文章も...書きたいから書くってだけの自由さが好きだから...

最近、患者さんが手渡してくださった...

たぶん...鬱屈しないで、笑いましょうよ(喜色) !! って...

気付きなさいよって !!...ことと理解したわたし...^^;v...グラッチェ♪