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4172：求値...3次関数...

問題4172・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24142198.html#24142198 より Orz～

　ｘの３次関数 f(x) が、f(0)＝3，f(2)＝5 を満たし、

0＜x＜2 の範囲で極大値 5，極小値 3 をとるとき、f(5)＝？

解答

上記サイトより Orz～

[解答1]

３次関数 f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d で、
f'(x)＝3ax²＋2bx＋c だから、
極大値をとるｘの値をα，極小値をとるｘの値をβとすると、0＜α＜β＜2 で、
解と係数の関係により、和は α＋β＝－2b/(3a) 、よって、3(α＋β)/2＝－b/a です。
ここで、f(x)＝3 すなわち ax³＋bx²＋cx＋d－3＝0 の解が 0,β,β だから、
解と係数の関係により、和は 2β＝－b/a＝3(α＋β)/2 、3α－β＝0 になります。
また、f(x)＝5 すなわち ax³＋bx²＋cx＋d－5＝0 の解が α,α,2 だから、
解と係数の関係により、和は 2α＋2＝－b/a＝3(α＋β)/2 、3β－α＝4 になります。
これを解くと、α＝1/2， β＝3/2 となって、
f'(x)＝3a(x－1/2)(x－3/2)＝3ax²－6ax＋9a/4 だから、
f(x)＝ax³－3ax²＋9ax/4＋d になります。
f(0)＝d＝3，f(2)＝a/2＋d＝5 だから、a＝4 、
f(x)＝4x³－12x²＋9x＋3 、f(5)＝248 になります。

[解答2]

極大値をとるｘの値をα，極小値をとるｘの値をβとします。ただし、0＜α＜β＜2 です。
f(α)＝5 だから、３次関数 f(x)＝a(x－α)³＋b(x－α)²＋c(x－α)＋5 とおけます。
f'(x)＝3a(x－α)²＋2b(x－α)＋c で、
f'(α)＝0 だから、c＝0 、f'(x)＝3a(x－α)²＋2b(x－α)
f'(β)＝0 だから、3a(β－α)²＋2b(β－α)＝0 、b＝－3a(β－α)/2 です。
よって、f(x)＝a(2x＋α－3β)(x－α)²/2＋5 になります。
f(2)＝a(4＋α－3β)(2－α)²/2＋5＝5 より、4＋α－3β＝0 です。
f(β)＝a(α－β)³/2＋5＝3 、f(0)＝a(α－3β)α²/2＋5＝3 だから、
(α－β)³＝(α－3β)α² 、β＝3α になります。
よって、α＝1/2，β＝3/2，a＝4 となって、
f(x)＝4(2x－4)(x－1/2)²/2＋5＝(x－2)(2x－1)²＋5 になり、
f(5)＝(5－2)(2･5－1)²＋5＝248 です。

[解答3]

極大値をとるｘの値をα，極小値をとるｘの値をβとすると、0＜α＜β＜2 で、
f(x)＝ax(x－β)²＋3， f(x)＝a(x－2)(x－α)²＋5 と表されます。
従って、ax(x－β)²－a(x－2)(x－α)²－2＝0 、
ａで割って降冪の順に整理すると、
2(α－β＋1)x²＋(β²－α²－4α)x＋2(α²－1/a)＝0 、
よって、β＝α＋1， β²＝α²＋4α， α²＝1/a 、
これを解くと、α＝1/2， β＝3/2， a＝4 となって、
f(x)＝4x(x－3/2)²＋3＝x(2x－3)²＋3，
f(5)＝5(2･5－3)²＋3＝248 です。　

[解答4] uch*n*anさんのコメントより

まず，f(0)＝3，f(2)＝5 より，a，b を実数，a≠0，として，
f(x)＝x(x－2)(ax＋b)＋x＋3 とおけます。
極大値を与える x は 2 でなく f(x)＝5 で，y＝5 が y＝f(x) の接線なので，
x(x－2)(ax＋b)＋x＋3＝5 ，(x－2)(ax²＋bx＋1)＝0 ，
ax²＋bx＋1＝0 が重解をもつことになり，b²－4a＝0 です。
同様に，極小値を与える x は 0 でなく f(x)＝3 で，y＝3 が y＝f(x) の接線なので，
x(x－2)(ax＋b)＋x＋3＝3 ，x{ax²＋(b－2a)x＋(1－2b)}＝0 ，
ax²＋(b－2a)x＋(1－2b)＝0 が重解をもつことになり，
(b－2a)²－4a(1－2b)＝0 です。
(2b－4a)²－4･4a(1－2b)＝0 に 4a＝b² を代入して，
(2b－b²)²－4b²(1－2b)＝0 ，
4b²－4b³＋b⁴－4b²(1－2b)＝0 ，b³(b＋4)＝0
a≠0 より b≠0 なので，b＝－4，a＝4 ，
このとき，極大は (1/2，5) で，極小は (3/2，3) で与えられるので，題意を満たします。
そこで，f(x)＝4x(x－1)(x－2)＋x＋3 となり，f(5)＝4･5･4･3＋5＋3＝248 になります。

[参考]

３次関数 f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d で、
極値をとるｘの値をα,βとすれば、f'(x)＝3ax²＋2bx＋c＝0 の解がα,βだから、
解と係数の関係により、和は α＋β＝－2b/(3a) 、よって、(α＋β)/2＝－b/(3a) です。
次に、３次関数のグラフ y＝ax³＋bx²＋cx＋d と直線 y＝mx＋n が、
P(p，f(p)) で接し、Q(q，f(q)) で交わるものとすれば、
ax³＋bx²＋(c－m)x＋(d－n)＝0 の解が p，p，q だから、
解と係数の関係により、和は 2p＋q＝－b/a 、よって、(2p＋q)/3＝－b/(3a) です。
これは、PQ を 1：2 に内分する点のｘ座標が－b/(3a) であることを示しています。
従って、γ≠α，f(γ)＝f(α)，δ≠β，f(δ)＝f(β) とすれば、
δ，α，－b/(3a)，β，γ が、等間隔に並ぶことになります。
この性質から、図のようなマス目と５点に注意して描くときれいなグラフになります。
実は、マス目は、右図のように平行四辺形でも構いません。
平行四辺形にすると、極値をもたないときも応用できます。

本問の場合、0，α，－b/(3a)，β，2 が等間隔に並ぶから、α＝1/2，β＝3/2 ですね。

*熟読玩味～^^;...

ちなみにわたしのは...どれに似てるのかなぁ...^^;?

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f(0)=d=3
f(2)=8a+4b+2c+3=5

f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-(1-α))(x-(1+α))
=3a(x^2-2x+(1-α^2))
b=-3a
c=3a(1-α^2)
f(1-α)=a(1-α)^3-3a(1-α)^2+3a(1-α^2)(1-α)+3=5
f(1+α)=a(1+α)^3-3a(1+α)^2+3a(1-α^2)(1+α)+3=3
後者から...
1+α-3+3(1-α)=0
α=1/2

つまり...
f(1/2)=a(1/2)^3-3a(1/2)^2+3a(1-(1/2)^2)(1/2)+3=5
a(1/8-3/4+3(3/4)(1/2))=2
a(1/2)=2
a=4
つまり...
b=-12, c=12(1-(1/2)^2)=12*(3/4)=9
けっきょく...
f(5)=4*5^3-12*5^2+9*5+3
=500-300+45+3
=248