アットランダム≒ブリコラージュ

4174：正方形...分割線分の長さ...

問題4174・・・算チャレ 88回の問題 Orz〜

図で、四角形ＡＢＣＤは正方形です。
点ＰはＢＣ上の点で、角ＰＡＱ＝角ＱＡＤとなっています。

また、各部の面積比は以下の通りです。

三角形ＡＢＰ：四角形ＡＰＣＱ：三角形ＡＱＤ＝５：１１：８

では、ＱＤ＝４cmであるとき、ＡＰの長さは何cmでしょうか。

解答

今日はあまりに眠たい...^^;...

http://yosshy.sansu.org/san88-92.htm より Orz〜

図のように等積変形すると、面積比は、
ＢＰ：(ＰＣ＋ＣＱ)：ＱＤ＝５：１１：８
ＱＤ＝４ｃｍ　より、ＢＰ＝２．５cm
また、ＢＣ＋ＣＤ＝（５＋１１＋８）÷２＝１２cm　より
ＢＣ＝ＣＤ＝６cm

ここで、５：１２：１３の直角三角形より、ＡＰ＝13/2

*12^2+5^2=144+25=169=13^2

13/2

お気に入り♪

4173：モンスター...最短距離...

問題4173・・・ピカピカ算数限界編 http://cdcdcd.sansu.org/pika/ より Orz〜

Ｐ君がＡ地点で遊んでいたら、野生のモンスターに突然出くわしました。

身の危険を感じたＰ君は、急いでＢ地点の自宅まで走って逃げようと思います。
辺り一帯は草原ですが、図のＨＢ間だけは８００ｍの直線道路になっています。

Ｐ君は草原を毎秒４ｍの速さで、道路を毎秒６ｍの速さで走ります。
Ｐ君が走り始めてから自宅まで逃げるのに、最短でも３分かかるそうです。

では、自宅まで最短の３分かかるように逃げたとき、草原と道路をそれぞれ何ｍ走ることになりますか？

解答

けっきょくわからなかった...まま...^^;...

解答がアップされてた♪

上記サイト http://cdcdcd.sansu.org/pika/G/G-a80.htm より Orz〜

秒速の比は草原：道路＝４ｍ：６ｍ＝２：３ですから、一定時間で走る距離の比は、草原：道路＝２：３ですね。→(α)
ここで、右図のように、ＨＩ：ＨＢ＝２：３となり、かつ角ＨＩＢ＝９０度となるような点Ｉを下側に取ります。
草原から道路に乗り換えるＨＢ上の地点をＰとして、ＰからＢＩに向けて垂線ＰＣを下ろします。
すると、ＰＢ(道路)を進むのにかかる時間は、ＰＣ(草原)を進むのにかかる時間と同じになります！
（理由）２角が等しいから△ＢＨＩと△ＢＰＣは相似で、ＰＣ：ＰＢ＝ＨＩ：ＨＢ＝２：３。そしてαより。

よって、草原ＡＰと道路ＰＢを走るのにかかる時間の和は、草原ＡＰ＋ＰＣを走るのにかかる時間と等しくなります。
では、草原ＡＰ＋ＰＣを走るのにかかる時間は、どういうときが最短になるのでしょう？
常に毎秒４ｍで進むので、ＡＰ＋ＰＣの長さを最短にすればいいわけですが。

図は、道路ＨＢ上のいろいろな場所に点Ｐを、ＩＢ上に点Ｃを取ったところを表します。
「最短距離」の定石より、線が折れ曲がったら最短距離にはなりません。
つまり、ＡＰ＋ＰＣの長さが最短になるのは、Ａ・Ｐ・Ｃが一直線に並び、かつＡＣがＩＢに対する垂線になるときです。(※)
ＡＨの長さが十分に短く、そしてＰやＣの取り方から、これは実現可能ですね。

ここからは普通の(？)平面図形の問題です。右図で同じ印の角度は同じ大きさです。
ＨからＡＰに向けて垂線ＨＤを下ろします。すると、△ＢＨＩ・△ＨＰＤ・△ＡＰＨはともに相似です。
ＨＩ：ＨＢ＝ＰＤ：ＰＨ＝ＰＨ：ＰＡ＝２：３です。(これより、ＨＩ＝１６００／３ｍがまずわかります)
ＰＤ＝[４]とすると、ＰＨ＝[６]、ＰＡ＝[９]となり、ＡＤ＝[９]−[４]＝[５]となることがわかります。→(β)

草原ＡＰと道路ＰＢを走るのにかかる時間の和が最短３分＝１８０秒になるのは、草原ＡＰ＋ＰＣを走って最短３分かかるときです。
草原での秒速は４ｍなので、直線ＡＣの長さは４×１８０＝７２０ｍです。
また、四角形ＤＨＩＣは、内角がすべて９０度なので長方形であり、ＤＣ＝ＨＩ＝１６００／３ｍです。→(γ)
βとγより、７２０−１６００／３＝５６０／３ｍが[５]にあたるので、[１]＝１１２／３ｍ。
実際に走った草原は１１２／３×[９]＝３３６ｍ。
また、[６]＝２２４ｍなので、実際に走った道路は８００−２２４＝５７６ｍです。

図形的に解かないのであれば、ＰＨ＝[２]、ＰＣ＝{２}とおくと、ＡＰ＝[３]、ＰＢ＝{３}となり、[３]＋{２}＝７２０ｍ、[２]＋{３}＝８００ｍ、の消去算を解くのが一番楽だと思います。

もし、(※)が実現できなかったときを、念のため考えておきましょう。
ＡＨがとても長いとき(ＡからＢＩに向けて垂線を下ろすと、ＣがＢＩの延長線上にくるとき)は、道路を通らずに草原ＡＢを直線で進むときが最短になります。
このとき、ＡＢはＨＢ＝８００ｍより明らかに長く、かかる時間は８００÷４＝２００秒より長くなる(→３分より長い)ことから不適です。

*熟読玩味...^^;

・友人のもの Orz~

PがHから右に動かすと、HPの増分に対して、APの増分は0より次第に大きくなる。

図のように、計算するとHPの増分1に対してAPの増分はsin(a)となる 

最短で走るということは、

それぞれの速さを考慮に入れたHPとAPの増分が等しくなるところである。 

よってsin(a):1=2:3　　AP:HP=3:2 が求める点である 

 AP=3x　、HP=2x　とおくと 

 3x/4800-2x/6-=180　で

x=112 

よって336m　と　576m

増分は微分使えばfig2のようにかんたん 

 AP=p/cos(a)　　

HP=p*tan(a) 

 cos(a)’=sin(a)/cos(a)^2　　　

tan(a)’=1/cos(a)^2 

 よって比はsin(a):1

*屈折率の原理(ホイヘンスの原理)そのものの問題だと思ったけど...考え方わからず...^^;;