問題4135・・・ヤドカリさんのブログ
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/23772079.html#23773268 より Orz〜
底面の半径と高さの比が 4：5 の円錐を頂点から 9 の点で母線に垂直に切ります。
このとき、切り口(楕円)の面積は？
解答
[解答1]
図1のように、切り口にも円錐にも接する球面を考え、切り口との接点を F，F' とします。
切り口の周上の点Ｐを通る円錐の母線と球面の接点を S，T とすれば、
PF＝PS， PF'＝PT だから PF＋PF'＝ST(一定)、切り口は F，F' と焦点とする楕円になります。
図2は図1を真横から見て拡大したもので、二等辺三角形の頂角を 2θとすれば、tanθ＝4/5、
tan 2θ＝2tanθ/(1−tan2θ)＝40/9 となって、
OA＝9 より AB＝40, OB＝41 となり、図に示した長さを得ます。
従って、楕円の長半径は 40/2＝20， 中心から焦点までの距離は 20−4＝16 になります。
短半径は、√(202−162)＝12 だから、面積は 20･12･π＝240π です。
[解答2]
空間座標で、A(0，0，9)，C(4，0，4) とします。
Ａを通りＣを中心とする半径４の球と接する直線と xy平面の交点の軌跡が求める楕円になります。
その交点を P(x，y，0) とすれば、直線APとＣの距離が４になります。
APを t：(1−t) に分ける点をＴとすると、T(xt，yt，9−9t)で、
CT の長さを t の関数とみて、その最小値が４になることを意味します。
従って、CT2 の最小値が 16 、
CT2＝(xt−4)2＋(yt)2＋(5−9t)2＝(x2＋y2＋81)t2−2(4x＋45)t＋41 、
この２次関数を平方完成したり微分したりして、最小値を x，y で表しても良いのですが、
計算を簡単にするために、次のように考えます。
(x2＋y2＋81)t2−2(4x＋45)t＋25 の最小値が 0 、
(x2＋y2＋81)t2−2(4x＋45)t＋25＝0 が重解をもつことになります。
判別式は、(4x＋45)2−25(x2＋y2＋81)＝0 だから、
9x2＋25y2−360x＝0 、9(x−20)2＋25y2＝3600 、(x−20)2/400＋y2/144＝1 、
長半径が 20， 短半径が 12 の楕円となって、面積は 20･12･π＝240π です。
☆ 空間座標で、A(0，0，9)，C(4，0，4)，P(x，y，0) のとき、ベクトルを太字で表すと、
AC＝(4，0，−5)，AP＝(x，y，−9)，AC×AP＝(5y，36−5x，4y) で、
点Ｃと直線APの距離が４だから、2△ACP＝|AC×AP|＝4|AP| 、|AC×AP|2＝4|AP|2 、
(5y)2＋(36−5x)2＋(4y)2＝16(x2＋y2＋81) 、簡単にして、9x2＋25y2−360x＝0 になります。
なお、ベクトルの外積を使わなければ、△ACP＝(1/2)√{|AC|2|AP|2−(AC・AP)2} より、
(2△ACP)2＝|AC|2|AP|2−(AC・AP)2＝41(x2＋y2＋81)−(4x＋45)2 となり、
41(x2＋y2＋81)−(4x＋45)2＝16(x2＋y2＋81) 、簡単にして、9x2＋25y2−360x＝0 になります。
・uch*n*anさんのもの Orz〜
相似により円錐面の方程式を求めて解く解法を，ご参考までに示しておきましょう。
切り口の最下端の点を通り円錐の底面に平行な平面で切ってできる円の中心を O，
円錐の頂点を A，頂点から 9 の点を P，AP の延長と 円O との交点を B，
O に関し B と対称な 円O 上の点，切り口の最下端の点ですね，を Q，とします。
対称性より A，P，B，O，Q は同一平面上にあり，立体はこの平面に関して対称です。
tan(∠QAO) = 4/5，cos(∠QAO) = 5/√41，sin(∠QAO) = 4/√41，∠QAO = ∠PAO
tan(∠QAP) = tan(∠QAO * 2) = (2 * tan(∠QAO))/(1 - (tan(∠QAO))^2)
= (2 * 4/5)/(1 - (4/5)^2) = 40/9 と，AP = 9 とから，
PQ = AP * tan(∠QAP) = 40，AQ = √(40^2 + 9^2) = 41 = AB なので，
O(0,0,0)，A(0,0,5√41)，B(4√41,0,0) と座標を入れると，
P(36/√41,0,160/√41)，Q(-4√41,0,0) になります。
さらに，PQ⊥AB なので，∠BQP = ∠BAO = ∠QAO で，tan(∠BQP) = 4/5 です。
そこで，y = 0，xz平面，において，PQ の式は，
z - 160/√41 = 4/5 * (x - 36/√41)，4x - 5z + 16√41 = 0
切り口の平面は y 方向には傾いていないので，これが切り口の平面の式になります。
さて，円錐上の点を S(x,y,z)，AS の延長と 円O との交点を T(X,Y,0)，
S から AO に下ろした垂線の足を U，とすると，相似より，
AS/AT = AU/AO = (5√41 - z)/5√41
X = 5√41/(5√41 - z) * x，Y = 5√41/(5√41 - z) * y
特に，切り口の縁では 4x - 5z + 16√41 = 0 なので，z を消去して，
X = 25√41/(9√41 - 4x) * x，Y = 25√41/(9√41 - 4x) * y
T は 円O，X^2 + Y^2 = (4√41)^2，上の点なので，代入すると，
(25√41/(9√41 - 4x) * x)^2 + (25√41/(9√41 - 4x) * y)^2 = (4√41)^2
25^2 * x^2 + 25^2 * y^2 = 16 * (9√41 - 4x)^2
9 * 41 * x^2 + 9 * 2 * 64√41 * x + 25^2 * y^2 = 16 * 9^2 * 41
9 * 41 * (x^2 + 64/√41)^2 + 25^2 * y^2 = 16 * 9^2 * 41 + 9 * 64^2 = (12 * 25)^2
(x^2 + 64/√41)^2/(100/√41)^2 + y^2/12^2 = 1
ここでこの式の意味を考えてみると，S(x,y,z) の x，y だけに関する式なので，
切り口を含む柱，楕円柱，と考えられます。
特に，z = 0，xy平面，では，切り口を xy 平面に正射影したもの，
長軸(の半分)が 100/√41，短軸(の半分)が 12，となる楕円，になっています。
このとき，切り口は，y 方向には傾いていないので xy 平面でも長さが変化しませんが，
x 方向には ∠BQP だけ傾いているので，
切り口上の長さが cos(∠BQP) = 5/√41 だけ短くなって xy 平面に射影されます。
つまり，切り口上では，
長軸(の半分)が (100/√41)/(5/√41) = 20，短軸(の半分)が 12，となる楕円
になります。
そこで，求める面積は，20 * 12 * π = 240π，になります。
なお，
X = 5√41/(5√41 - z) * x，Y = 5√41/(5√41 - z) * y
を 円O，X^2 + Y^2 = (4√41)^2，に代入した式，
25x^2 + 25y^2 = 16(z - 5√41)^2, z <= 5√41
が，この問題での円錐面の方程式になります。
*ちなみにわたしのすったもんだしたもの...^^;
tanA=(8/5)/(1-(4/5)^2)=40/9
楕円の長軸=40
楕円の面積は...(短軸/2)*(長軸/2)*π なんだ...
考えたら当たり前でしたけど...r*(r*k)*π...r^2*π の k倍と考えればいいわけだから...
20*(4/5)=16
9+16=25
25*4/√41=100√41/41
20*(√41/5)=4√41=164√41/41
(100√41/41)^2*(1-(64/100)^2)
=5904/41=144
けっきょく...
12*20*π=240π
*ちなみに...^2...
>tanθ＝4/5 で tan2θを求めるとき、(5＋4i)^2 を計算します
っていうやどかりさんの方法♪
最初...ん？って思って...
なるっ!!
目から鱗♪
いつも感心/感激♪
tan(nθ) も、sin(nθ), cos(nθ) も...これでいける...
・友人のもの
楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 は 円 x^2+y^2=a^2をy軸方向に b/a に圧縮したものだから
面積は πa^2*b/a=πab
図のように、直角三角形の相似をつかって、問題の楕円の長径はa=40。
b/aを求めるのに、点Aにおける水平断面の半径がABになることより、a/b=3/5 より b=12
求める面積=240π
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