アットランダム≒ブリコラージュ

4143：最大値...円に外接する四角形...

問題4143(オリジナル問)

半径１の単位円に長さ１の弦 AB を取り、残りの2点 P, Q を円周上にとるとき、

各辺の２乗の和の最大値はいくらか？

解答

・わたしの

円内に内接する四角形で考えるとき...

正方形のときが一番各辺の長さの和の二乗が最大になる...

なぜなら...円の直径が一番長くなるから...2*直径^2 なので...^^

とすると...

どんな弦でも...円に内接する長方形ができるので...同じ!!

けっきょく、この場合の最大値=2*2^2=8

♪

↑

これまた嘘っぱちでしたぁ...^^; Orz~

uch*n*anさんのご指摘から 〜m(_ _)m〜v

P，Q が AB の垂直二等分線と円との交点に十分近いとき，ほぼ，
PQ^2 = 0
QA^2 = PB^2 = (1/2)^2 + (√3/2 + 1)^2 = (8 + 4√3)/4 = 2 + √3
だから，
AB^2 + QA^2 + PB^2 + PQ^2 = 1 + (2 + √3) + (2 + √3) + 0 = 5 + 2√3 > 8

↑

これは...

cosθ < 0 ( 90°< θ <180°)  なので...
a^2=PQ^2+PB^2-2*PQ*PB*cosθ＞PQ^2+PB^2
たしかに!! 常に言えますね ♪グラッチェ ^^v

4142：最大値...外心円...

問題4142(某サイト問から考えた問題 ^^;)

円0の弦ABを底辺にして、円周上をPが移動するとき、

AP^2+BP^2 の最大値になる点Pを求めよ。

解答

わかっていません...

考えたこと...途中まで...^^;

AB/sin(角P)=AP/sin(角B)=BP/sin(角A)=k

AP^2+BP^2=k^2*((sin(角B))^2+(sin(角A))^2)

                   =k^2*((sin(180-角P-角A))^2+(sin(角A))^2)

(sin(角P+角A))^2+(sin(角A))^2....角P<角P+角A<180°

ここから...

under consideration...

明日から...上京です...Orz...

いま...寝床で思いついたもので...^^

単位円で座標で考えたら...

0を通るABに平行な直径をx軸とし、そこから Bまでの角度をαとすると...

A：(-sinα, -cosα)

B：(sinα, -cosα)

P：(sinβ, cosβ)

AP^2+BP^2={(sinβ-sinα)^2+(cosβ+cosα)^2}+{(sinβ+sinα)^2+(cosβ+cosα)^2}

                    =4+4cosα*cosβ

相加相乗平均から...cosα=cosβ=cos(180°-α) のときなので...

けっきょく...

α=β のときは...AP が直径のとき、180°-α=β のときは...BP が直径のときとわかる♪

↑

(訂正)

やどかりさんのご指摘で気付きました ^^;...これ完全に間違ってました...Orz~

(x, y) も逆だったんだけど...^^;...

4+4cosα*cosβ において...cosαは決まっているので...

ようは...cosβの最大値でいいわけでした...

β=90°

最小値は...β=-90°

のときだから...

垂直二等分線上の大きい弧の側の点(=二等辺三角形になるとき)

なんだぁ〜 ^^v

ちなみに...コメ欄のやどかりさんの証明法は一発ですね♪

ちなみに...

AP+BP の最大値は...

楕円を考えれば...AP の垂直二等分線と円が交わる点が P のとき、つまり、二等辺三角形になるときとわかる♪

これで眠れる ^^v

チャオ〜

明日は...元気なら...東京の空のした(どこかのホテルの部屋)からアップします〜〜〜♪