4212：三角形...面積...

問題4212・・・算数にチャレンジ！！http://www.sansu.org/ より Orz〜

図のような△ＡＢＣがあります。

いま、辺ＡＢ上に、ＢＣ＝ＢＥとなるような点Ｅをとり、さらに辺ＡＣ上に、∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＢ（＝∠ＥＣＢ）となるような点Ｄをとりました。また、点Ｄから辺ＡＢ、辺ＥＣに下ろした垂線の足をそれぞれＨ、Ｉとしたところ、ＤＨ：ＤＩ＝３：５となりました。

では、△ＤＥＢの面積が３６cm²であるとき、△ＣＤＢの面積は何cm²であるかを求めてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・ma-mu-taさんのもの Orz〜

DからBCの延長に垂線を下ろし、その足をJとします。 
角の関係から　△DHE∽△DIC，△DEI∽△DCJとなり、 
DE：DC＝DH：DI＝3：5　，　DI：DJ＝DE：DC＝3：5 
連比を作ると、DH：DI：DJ＝9：15：25 
底辺の等しい三角形は面積比＝高さ比だから、 
△DEB：△CDB＝DH：DJ＝9：25 
よって、△CDB＝△DEB×25/9＝36×25/9＝100

・uchinyanさんのもの Orz〜

まず，□DHEI において，∠DHE = ∠DIE = 90°なので， 
∠IDH = 360°- ∠DHE - ∠DIE - ∠HEI = 360°- 180°- ∠HEI = 180°- ∠HEI = ∠CEB = ∠CDE です。 
そこで，∠EDH = ∠IDH - ∠IDE = ∠CDE - ∠IDE = ∠CDI になり，∠DHE = ∠DIC = 90°なので， 
△DHE ∽ △DIC となり，DE：DC = DH：DI = 3：5，∠DEH = ∠DCI になります。 
結局．．． 
ここで，D から BC の延長に垂線を下ろしその足を J とします。 
すると，∠DCJ = 180°- ∠DCB = 180°- ∠DCI - ∠BCE = 180°- ∠DEH - ∠BEC = ∠DEI になり， 
∠DIE = ∠DJC = 90°なので，△DEI ∽△DCJ となり，DI：DJ = DE：DC = 3：5 になります。 
そこで，DH：DI：DJ = 9：15：25 になり，BE = BC なので， 
△DEB：△CDB = △DEB：△DBC = DH：DJ，36：△CDB = 9：25，△CDB = 36 * 25/9 = 100 cm^2 になります。

なお，数学で，と割り切ってしまえば，そこそこの感じでできます。ご参考まで。 

△CDE の外接円を描くと，条件より，AB は E で接しており， 
∠DEH = ∠DCI で，△DHE ∽ △DIC となり，DE：DC = DH：DI = 3：5 になります。 
そこで，BE = a，DE = 3b，DC = 5b，DH = 3h，DI = 5h，∠BEC = p とおくと，CE = 2a * cos(p) で， 
△DEC に余弦定理，(2a * cos(p))^2 = (5b)^2 + (3b)^2 - 2 * 3b * 5b * cos(p) 
△DEC の面積，3b * 5b * sin(p) * 1/2 = 2a * cos(p) * 5h * 1/2 
△DEB の面積，a * 3h * 1/2 = 36 
△CDB = △CDE + △BCD - △DEB = 2a * cos(p) * (5h + a * sin(p)) * 1/2 - 36 
最初の式は，4a^2 * (cos(p))^2 = 34b^2 - 30b^2 * cos(p) 
三番目の式は，ah = 24 
二番目の式は，b^2 * sin(p) = 16 * cos(p) 
そこで， 
△CDB = 5ah * cos(p) + a^2 * cos(p)sin(p) - 36 
= 120 * cos(p) + a^2 * cos(p) * 16 * cos(p)/b^2 - 36 
= 120 * cos(p) + 4 * 4a^2 * (cos(p))^2 * 1/b^2 - 36 
= 120 * cos(p) + 4 * (34b^2 - 30b^2 * cos(p)) * 1/b^2 - 36 
= 120 * cos(p) + 136 - 120 * cos(p) - 36 
= 136 - 36 
= 100 cm^2 
になります。 

・わたしの...どうもいい加減な気がしてきてる...^^; Orz...

CD上にEDと等しい点D'を取る。 
△DAE-△EAC-△D'EC となる... 
DE:DC=3:5 
CD'=3t とすると...D'D=2t 
CD'+D'D=5 なので... 
CD'=3, D'D=2 
△DAE≡△D'EC とわかり... 
CE=EA 
△EDD'-△BCE なので... 
CE:EB=2:3 
これで揃ったので... 
36*'{((3/2)+1)/(3/2)}*(5/3)=4*5^2=100