アットランダム≒ブリコラージュ

4224：求値...lim...

問題4224・・・某サイトより Orz〜

　lim　(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/4^2)*･･･*(1-1/n^2) = ?

 (n→∞) 

解答

またいずれ ^^

4223：操作...3つの数...

問題4223(友人問)

3つの数があります。

これらの数に対して、次の操作を行います。

3つのうちの2つ a, b を (a+b)/√2 と(a-b)/√2 に変えます。

この操作をして、( 2, √2, 1/√2 ) という組み合わせから、

(1, √2, 1+√2 ) という組み合わせを得ることは出来るでしょうか。

解答

よくわからないけど...

・わたしの

(a,b,c)→((a+b)/√2, (a-b)/√2, c)

3つの数の和は...a+b+c → √2*a+c→2a+c or √2*c+√2*a

(1/√2,1,√2) →1+√2 → √2+2 → 2+2√2...(1,1+√2,√2)

となれるので可能...^^;?

↑

間違ってる...^^; Orz...

下のコメ欄の Rey Mizu さんのもの Orz〜

↓

ある数のペア(a,b,c)が与えられているとき、
ここで題意の操作fをa,bに対して施しても、一般性を失わない。

f(a,b,c) = ( (a+b)/√2, (a-b)/√2, c) = (d, e, c)とdenoteすれば
a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + c^2
が成り立つ。

なぜならば、
{(a+b)/√2}^2 + {(a-b)/√2}^2 = (a+b)^2 /2 + (a-b)^2 /√2 = a^2 + b^2
であるから。

題意の条件については、
2^2 + (√2)^2 + (1/√2)^2 = 13/2
1^2 + (√2)^2 + (1+√2)^2 = 6+2√2
なので一致せず、操作によって点は移動できない。

対称変換と回転移動の合成関数と同型の写像で、有限個の点でしか移動し合えないかと思われます。

*ブラボーね !! ♪

お気に入り♪

4222：立体格子でできる直方体...

問題4222・・・算チャレ掲示板より Orz〜

4^3の立体格子の任意の8点を結んで直方体ができる確率は？

解答

狂いそうになって狂いそう...^^;

どなたかわかる方教えて...Orz...

4221：角の二等分線...最大値...

問題4221・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24555964.html#24555964 より Orz〜

AB＝AC＝5，BC＝8 の二等辺三角形ABC があって、

BP＞CP，∠APB＝∠APC の条件で、BP の長さが最長になるように、

平面ABC上に四角形ABPCをつくるとき、BP：CP＝？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/148198.html?m=lc&p=3 より Orz〜

[解答1]

簡単のため、AP＝a，BP＝b，CP＝c，∠APB＝∠APC＝θ とします。
△ABPで余弦定理より、25＝a²＋b²−2ab･cosθ 、25c＝a²c＋b²c−2abc･cosθ 、
△ACPで余弦定理より、25＝a²＋c²−2ac･cosθ 、25b＝a²b＋c²b−2abc･cosθ 、
辺々減じて、25(c−b)＝a²(c−b)＋bc(b−c) 、
b≠c より、両辺を b−c で割って、25＝a²−bc、25−a²＝−bc になります。
( b＝c のとき、すなわち、PがBCの垂直二等分線上にあるときも、∠APB＝∠APC です )

　再び、△ABP，△ACPで余弦定理より、
cos∠ABP＝(b²＋25−a²)/(2･5b)＝(b²−bc)/(10b)＝(b−c)/10 、
cos∠ACP＝(c²＋25−a²)/(2･5c)＝(c²−bc)/(10c)＝(c−b)/10 
だから、cos∠ACP＝−cos∠ABP より ∠ABP＋∠ACP＝180ﾟ になります。
よって、ABCPが四角形になれば円に内接します。
( PがBCの延長上にあるときも ∠ABP＋∠ACP＝180ﾟ になりますが四角形にはなりません )

ここで、△ABCで余弦定理より、cos∠BAC＝(5²＋5²−8²)/(2･5･5)＝−7/25 、
BCが最長になるのは直径のときで、PC/BP＝cos∠BPC＝−cos∠BAC＝7/25 、BP：CP＝25：7 です。

☆ 2cosθ＝(b²＋a²−25)/(ab)＝(b²＋bc)/(ab)＝(b＋c)/a 、
2cos2θ＝2(2cos²θ−1)＝(b＋c)²/a²−2 、
△BPCで余弦定理より、
64＝b²＋c²−2bc･cos2θ＝b²＋c²−bc{(b＋c)²/a²−2}＝(b＋c)²(1−bc/a²)
64a²＝(b＋c)²(a²−bc)＝25(b＋c)² だから、
8a＝5b＋5c となって、トレミーの定理の逆によっても、四角形ABPCが円に内接することが分かります。


[解答2]

A(0，3)，B(−4，0)，C(4，0)，APとBCの交点を T(t，0) (0＜t＜4)とすれば、
P(tk，3−3k) (1＜k) と表され、BT＝4＋t，CT＝4−t となります。 
また、 BP²＝(tk＋4)²＋9(1−k)²， CP²＝(tk−4)²＋9(1−k)² となります。
PA が ∠BPC の二等分線だから、BP：CP＝BT：CT 、BT²CP²＝CT²BP² 、
(4＋t)²{(tk−4)²＋9(1−k)²}＝(4−t)²{(tk＋4)²＋9(1−k)²} 、
(4tk−16＋t²k−4t)²−(4tk＋16−t²k−4t)²＋9{(4＋t)²−(4−t)²}(1−k)²＝0 、
(8tk−8t)(2t²k−32)＋9･8t(1−k)²＝0 、16t(k−1)(t²k−16)＋9･16t(k−1)²＝0 、
16t(k−1) で割って、t²k−16＋9(k−1)＝0 、k＝25/(t²＋9) となります。
BP²＝(tk＋4)²＋9(1−k)²＝t²k²＋8tk＋16＋9−18k＋9k²

　 ＝(t²＋9)k²＋8tk−18k＋25＝25k＋8tk−18k＋25＝(8t＋7)k＋25
＝25(8t＋7)/(t²＋9)＋25

　ここで、t²＋9＝m(8t＋7) とおけば、m＞0 で、
t²−8mt＝7m−9 、(t−4m)²＝16m²＋7m−9 、
(m＋1)(16m−9)＝(t−4m)²≧0 、よって、m≧9/16 。
ｍの最小値は 9/16 で、このとき、BP²＝25/m＋25 は最大になって、
t＝4m＝9/4 ( BP²＝25/m＋25＝625/9 になります )、
BP：CP＝BT：CT＝(4＋t)：(4−t)＝25/4：7/4＝25：7 です。


[解答3]

A(0，3)，B(−4，0)，C(4，0)，P(x，y) とすれば、
[解答1]より、AP²−25＝BP･CP だから、(AP²−25)²＝BP²･CP² 、
{x²＋(y−3)²−25}²＝{(x＋4)²＋y²}{(x−4)²＋y²} 、
(x²＋y²＋16−6y−32)²＝(x²＋y²＋16＋8x)(x²＋y²＋16−8x) 、
−2(x²＋y²＋16)(6y＋32)＋(6y＋32)²＝−64² 、
(3y＋16)(x²＋y²＋16)−(3y＋16)²＝16² 、
y(x²＋y²＋7y−48)＝0 、y{(x²＋(y＋7/6)²−625/36}＝0 、
よって、点Pは、ｘ軸上 or 中心が(0，−7/6)で半径が 25/6 の円周上にあります。
ｘ軸上の点は四角形ABPCができず、円周上の点のうち、第4象限の点が条件を満たします。
BPが最長になるのは、(0，−7/6)に関して B，P が対称なときで、P(4，−7/3)です。
このとき、BP＝25/3，CP＝7/3 だから、BP：CP＝25：7 です。


[解答4]

A(0，3)，B(−4，0)，C(4，0)，P(p，q) とすれば、
BP：−qx＋(p＋4)y−4q＝0 ，CP：−qx＋(p−4)y＋4q＝0 になり、
Aとこの２直線の距離(の２乗)が等しいから、
{3(p＋4)−4q}²/{q²＋(p＋4)²}＝{3(p−4)＋4q}²/{q²＋(p−4)²} 、
{3p−4(q−3)}²{q²＋(p−4)²}＝{3p＋4(q−3)}²{q²＋(p＋4)²} 、
{9p²＋16(q−3)²−24p(q−3)}(q²＋p²＋16−8p)＝{9p²＋16(q−3)²＋24p(q−3)}(q²＋p²＋16＋8p) 、
{9p²＋16(q−3)²}･8p＋24p(q−3)(q²＋p²＋16)＝0 、
これを簡単にすると、pq(3p²＋3q²＋7q−48)＝0 、pq{(p²＋(q＋7/6)²−625/36}＝0 、
よって、点Pは、ｙ軸上 or ｘ軸上 or 中心が(0，−7/6)で半径が 25/6 の円周上にあります。
ｙ軸上の点は BP＞CP に反し、ｘ軸上の点は四角形ABPCができません。
円周上の点のうち、第4象限の点が条件を満たし、
BPが最長になるのは、(0，−7/6)に関して B，P が対称なときで、P(4，−7/3)です。
このとき、BP＝25/3，CP＝7/3 だから、BP：CP＝25：7 です。


[参考] P が △ABC の外接円上にあることの uch*n*anさんのコメント

左下図のように、△ABC の外接円を O，AP 又はその延長と 円O との交点を Q とします。
AB＝AC なので 弧AB＝弧AC で ∠AQB＝∠AQC です。

　すると，AP＞AQ の場合，∠QPB＝∠QPC，∠PQB＝∠PQC，PQ：共通，より，
△BPQ≡△CPQ がいえ，BP＝CP になり、BP＞CP に反します。
AP＜AQ の場合も同様に BP＝CP がいえて，これもありえません。
そこで，AP＝AQ，つまり，PとQが一致し，P は 円O 上にあります。

*わたしの

外接円を描いたとき...
その直径になるとき最大!!
それを求めればいい ^^

(r-3)/4=CP/8
BP^2=(2r)^2=8^2+CP^2
=8^2+(2(r-3))^2
0=64+36-24r
2r=100/12=25/3=BP
CP=2(25/6-3)=14/6=7/3
BP : CP = 25 : 7

・やどかりさんからのコメ Orz〜

厳密にいえば、∠APB＝∠APC となるＰがその曲線上だけであることは示されていません。

「Ｐが○○○上にある ⇒ ∠APB＝∠APC」 は言えますが、
「∠APB＝∠APC ⇒ Ｐが○○○上にある」 は言えません。
ＰがBCの垂直二等分線上にあるときも、∠APB＝∠APC だからです。
もちろん、この場合は BP＞CP によって除外されていますが、
他の場合に、∠APB＝∠APC になることがないことを確かめなければなりません。

*わたしのリコメ...

外接円の外にPがあるとすると...(この場合最大値を考えればいいので...外接円の外の点を考えればいい)
BP,CPと外接円の交点を、それぞれB', C'とすると...
△PB'A≡△PC'A となる...底辺が同じ、その両角が同じなので...
つまり...AB'=AC'
こうなるのは...APがBCの垂直二等分線上のときになるけれど...
そのときは明らかに...BP=CP となり、題意を満たさない...
けっきょく...外接円周上の点しか題意を満たすものはない...

ならいいかなぁ...?

・やどかりさんからのリコメ Orz~

それで確かめたことになると思います

・やどかりさんのuch*n*anさんへのリコメ Orz~

∠APB＝∠APC で、BP はいくらでも大きくなれるのは、
もう１つの条件には反しますが、BCの垂直二等分線上にあるときだけですね。
先人も考えていたかも知れませんが、等しい長さの○に対する○○角は等しいのですが、
その逆を考えていて、この問題を思いつきました。

・やどかりさんのtsuyoshik1942さんへのリコメ Orz〜

A(0，3)，B(−4，0)，C(4，0)，∠APB＝∠APC，BP＝25/3 のとき AP を求めよ。
という問題であれば、答は、
BCの垂直二等分線上に２つ、BCの延長上に２つ、△ABCの外接円上に１つの、合計５つありますね。

*なるへそ !!

4220：整数...最小公倍数もどき...

問題4220・・・算数にチャレンジ!! Ver3 http://arot.net/challenge/ より Orz〜

15を足すと13の倍数になり、13を引くと15の倍数になる整数のうち、

小さいほうから3番目の整数は何ですか？

解答

・わたしの

a+15=13t

a-13=15k

13t-15=15k+13

13t=15k+28

  t=k+2+(2k+2)/13

2k+2=13m

k=6m-1+m/2

m=2,4,6,…

m=6 のとき…

k=36-1+3=38

a=15*38+13=583

 

算数じゃ…どうやって解くんだろ…^^;?