4228：半径...円に内接する六角形...

問題4228・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24647856.html より Orz〜

AB＝BC＝13，CD＝23，DE＝EF＝19，FA＝8 の六角形ABCDEFが円に内接しています。

この円の半径は？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/148198.html?m=lc&p=3 より Orz〜

けっきょくわからないままになってしまった...^^;...

[解答]

図のように、円周上に、CP＝AR＝19，PQ＝23，QR＝8 になるように点P，Q，R をとり、
BP＝BR＝x，PR＝y，∠PBR＝2θ とおきます。
∠BPR＝90ﾟ−θ より、∠BAR＝90ﾟ＋θ、また、∠PQR＝180ﾟ−2θ になります。

　二等辺三角形BPRにおいて、y＝2x･sinθ であり、
　△APRで余弦定理より、x²＝13²＋19²−2･13･19cos(90ﾟ＋θ)、
　△PQRで余弦定理より、y²＝23²＋8²−2･23･8cos(180ﾟ−2θ)
　であるから、簡単のために、z＝2sinθ とおくと、

y＝xz ，x²＝530＋247z ，y²＝593＋2･184cos2θ＝593＋2･184(1−2sin²θ)＝961−184z²
と なって、
y²＝x²z²＝(530＋247z)z² だから、
(530＋247z)z²＝961−184z² 、247z³＋714²−961＝0 、(z−1)(247z²＋961z＋961)＝0 、
z＞0 だから、z＝1 になり、x＝y＝√777 、△BPRは１辺が√777 の正三角形です。

　１辺がｘの正三角形の外接円の半径は、x/√3＝√777/√3＝√259 です。　

*こりゃ難しいなぁ...^^;...