問題4202・・・サイト 「水の流れ」
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html より Orz〜
1997年の青山学院高等部の問題を改題して出題します。
1辺が６ｃｍの正四面体Ａ−ＢＣＤがあり、辺ＡＢ，ＡＣ，ＤＢ，ＤＣを１：２に内分する点をそれぞれＥ，Ｆ，Ｐ，Ｑとおく。面ＥＦＱＰで切り取られる頂点Ａを含む側の部分の体積を求めよ。ちなみに、ＥＦ，ＰＱを通り、面ＥＰＱＦと垂直な面がＡＤと交わる点をそれぞれＧ，Ｒとします。
また、一般に正四面体Ａ−ＢＣＤの体積をＶとし、辺ＡＢ，ＡＣ，ＤＢ，ＤＣを１：（ｘ−１）に内分する点をそれぞれＥ，Ｆ，Ｐ，Ｑとおき、面ＥＦＱＰで切り取られる頂点Ａを含む側の部分の体積をＴとしたとき、Ｖ：Ｔの比をｘで表せ。
解答
上記サイトより Orz〜
・uchinyanさんのもの Orz〜
どうせなので，一般的な場合から解いてしまいましょう。
正四面体の一辺の長さを a とします。また，x >= 1 とします。
まず，相似と △AEF，△DPQ は正三角形より，AE = AF = EF = DP = DQ = PQ = a/x です。
また，AD//EP，AD//FQ なので AD//平面EPQF で，平面EPQF⊥△GEF，平面EPQF⊥△RPQ より，AD⊥△GEF，AD⊥△RPQ，AD⊥GF，AD⊥RQ になり，FQ⊥GF，FQ⊥RQ にもなります。
さらに，対称性より，GE = GF = RQ = RP，AG = DR です。そこで，∠FAG = 60°も使って，
G = AF/2 = a/2x = DR，GR = a(x - 1)/x，GE = GF = √3/2 * a/x = RQ = RP
ここで，A から EF に垂線を下ろしその足を H とすると，EH = FH = a/2x なので，
三平方の定理を使って，AH = √2/2 * a/x になり，
△GEF = EF * AH * 1/2 = a/x * √2/2 * a/x * 1/2 = √2/4 * (a/x)^2 = △RPQ
そこで，
T = 三角すいA-EFG + 三角柱EFQ-PQR + 三角すいD-PQR
= △GEF * AG * 1/3 + △GEF * GR + △GEF * DR * 1/3
= △GEF * (AG + 3 * GR + DR)/3 = △GEF * (AD + 2 * GR)/3
= √2/4 * (a/x)^2 * (a + 2 * a(x - 1)/x)/3
= √2/12 * a^3 * (3x - 2)/x^3
一方で，V は，A から △BCD に下ろした垂線の足を I とすると，三平方の定理などより，
△BCD = √3/4 * a^2，AI = √6/3 * a，V = △BCD * AI * 1/3 = √2/12 * a^3
なので，
V：T = 1：(3x - 2)/x^3 = x^3：(3x - 2)
になります。また，最初の問題は，a = 6 cm，x = 3 なので，
T = √2/12 * 6^3 * (3 * 3 - 2)/3^3 = 14√2/3 cm^3
になります。
(別解)
まず最初に，一般に，
△ABC の頂点 A，B，C からそれぞれ垂線を立てて，AD = a，BE = b，CF = c としたときの
三角柱を切断したような 立体ABC-DEF の体積を考えます。ただし，a <= b <= c とします。
D を通って △ABC に平行な平面を考え，BE，CF との交点を P，Q とし，
△DPQ の PQ を底辺としたときの高さを h，△ABC の面積を S すると，
△DPQ = PQ * h * 1/2，△DPQ ≡ △ABC，△DPQ = △ABC = S に注意して，
立体ABC-DEF = 四角すいD-PQFE + 三角柱ABC-DPQ
= □PQFE * h * 1/3 + △ABC * a
= ((PE + QF) * PQ * 1/2) * h * 1/3 + △ABC * a
= ((b - a) + (c - a))/3 * △ABC + △ABC * a
= (a + b + c)/3 * S
になります。
さて，この問題に戻って，正四面体の一辺の長さを d とします。また，x >= 1 とします。
さらに，B，C を通り AD に垂直な平面を考え，AD，EP，FQ との交点を M，K，L とします。
対称性より AM = DM = d/2 で，AD//EP，AD//FQ より AD//平面EPQF，△MKL⊥平面EPQF です。
そこで，立体MKL-AEF = 立体MKL-DPQ に先ほどの式が使えます。
相似，正四面体の面は正三角形，□EPQF は平行四辺形，EF//KL//PQ などより，
AE = AF = EF = DP = DQ = PQ = KL = d/x，EP = FQ = d(x - 1)/x，MK = ML = √3/2 * d/x です。
また，M から KL に垂線を下ろしその足を N とすると，KN = LN = d/2x なので，
三平方の定理を使って，MN = √2/2 * d/x になり，
△MKL = KL * MN * 1/2 = d/x * √2/2 * d/x * 1/2 = √2/4 * (d/x)^2 = S
a = AM = DM = d/2，b = c = EP/2 = FQ/2 = d(x - 1)/2x
T = 立体MKL-AEF + 立体MKL-DPQ = 立体MKL-AEF * 2 = (a + b + c)/3 * S * 2
= (d/2 + d(x - 1)/2x * 2)/3 * √2/4 * (d/x)^2 * 2
= √2/12 * d^3 * (3x - 2)/x^3
後は，d -> a として，同じです。
(感想)
相似と三平方の定理だけでできたので，これって高校入試レベルかな？，と思ったら，
「高等部」と書いてありましたね (^^;
V：T = 1：(3x - 2)/x^3 = x^3：(3x - 2) は，
x -> 1 で V：T -> 1：1，x = 2 で V：T = 2：1，x -> ∞ で V：T -> 1：0，
となって，直感とも一致します。
なお，(別解)の三角柱を切断したような立体は，あまり言葉はよくないのですが，
受験算数？では，断頭三角柱と言うそうで，公式としてよく使われているようです。
(底面積)×(高さの平均)，と直感的にも分かりやすく，それなりに便利な公式で，
覚えておいても損はないと思います。
・水の流れさんのコメ Orz〜
よくご存知ですね。
したがって、この問題にあてはめると、三角形EFGの面積をSとして、AD＝a、FQ＝ｂ、EP＝ｃとすると、求める体積VはS（a＋ｂ＋ｃ）÷３ で出てきます。この場合はS＝√２、a＝６、ｂ＝４、ｃ＝４ですから S＝√２（６＋４＋４）÷３＝１４√２／３ 答 ＞
・MVHさんのもの Orz〜
*ちなみにわたしのは完全に間違ってたぁ...^^;...
↓
一般化した方を先に考えると...図から...
Aを含む方の体積は...
上の相似な三角錐の体積+三角柱の傾いた体積＝(1/x)^3+(1/x)^2*{(x-1)/x}
＝x/x^3
＝1/x^2
つまり... V ：T ＝ x^2 ：1
辺が6 cmの正四角錐の x=3 の場合を考えればいいので...
正四角錐の体積=(6*3√3/2)*(√{6^2-(2√3)^2})*(1/3)
=18√2
なので... 求める体積 T=(1/9)*18√2
=2√2 cm^3
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