アットランダム≒ブリコラージュ

4211：四角形の対角線に同じ点で内接する円...

問題4211・・・浮浪の館 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・なかさんのもの Orz〜

４つの頂点から円との接点までの長さを、p,q,r,s とすると、
四辺形の４辺は順に、p+q, q+r, r+s, s+p となるので、
対辺の和は双方 p+q+r+s となり一致します。

４６＋６３＝５２＋□　→　□＝５７　ですね。

・わたしの...

あらほんに!!
図に文字を書いて眺めればよかったのね♪

ちなみに...
AB-AD=52-46=6
BC=x+6+y=63
x+y=63-6=57
♪

クイズみたいな問題でしたのに...^^;...

4210：円の被覆...

問題4210(友人問)

　半径rの円板を、何枚かの半径r/2の円板で覆う。

　小さいほうの円板は、最低何枚必要か。

解答

・わたしの

厳密じゃないけど...

円を描いて...

円周をまず覆うためには...6個必要

その６個の円は円周上でのみ接しているので...

それらの隙間を埋めるために...もう6個必要

最後に真ん中の隙間を埋めるために...1枚必要

合計で...2*6+1=13 枚

これが最小であることの証明ってできるのかなぁ...? ^^;

↑

間違ってました...^^;...Orz...

・友人からのもの

図のようにすれば7枚で覆える。

逆に、6枚以下の小円で大円を覆うことは不可能であることを証明する。

半径 r の大円の円周 C と、一つの小円盤の共通部分として得られる弧ABを考える。

弦 AB の長さは小円盤の直径以下だから |AB| ≦ r である。従って、弧ABの中心角は 60° 以下である。

したがって、円周 C を覆うには、少なくとも6枚の小円盤が必要である。しかし、ちょうど6個の小円盤で C を覆った場合、ABが小円盤の直径でなければならないから、その配置は図の外側の6個の小円のようになる。すると、大円板の中心を覆うために、さらにもう1枚の小円板が必要である。

*描けば当たり前でした...^^;;...

4209：等脚台形...

問題4209・・・みっちの隠れ家 http://micci.sansu.org/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

4208：2交点間の距離...

問題4208・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html より Orz〜

　xy平面上の２つの放物線 y＝x²−2x ，y＝−x²＋6x＋14 の２つの交点を A，B とするとき、AB＝？

解答

上記サイトhttp://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/24571203.html より Orz〜

x²−2x＝−x²＋6x＋14 を解いて、x＝2±√11 、
A，B のｘ座標の差は、(2＋√11)−(2−√11)＝2√11 になります。

また、y＝x²−2x ，y＝−x²＋6x＋14 を辺々加えて、
2y＝4x＋14 、y＝2x＋7 が直線ABの方程式で、傾きは 2 、
従って、AB＝√(1²＋2²)･2√11＝√5･2√11＝2√55 になります。


[参考]

２次方程式 ax²＋bx＋c＝0 で、
２つの解の和が −b/a ，解の積が c/a であることはよく知られていますが、
D＝b²−4ac とすれば、解の差が (√D)/|a| であることも知っていれば便利です。

*ちなみにわたしの...

交点の座標を(a1,b1), (a2,b2) とすると...
bk=(ak)^2-2(ak)
bk=-(ak)^2+6(ak)+14
(ak)^2-4(ak)-7=0
の2根がa1,a2 
a1+a2=4, a1*a2=-7
いっぽう...
bk=2(ak)+7 を満たすので...
b1-b2=2(a1-a2)

AB^2=(a1-a2)^2+(b1-b2)^2
=5*(a1-a2)^2
=5*{(a1+a2)^2-4a1a2}
=5*(4^2+4*7)
=5*44
つまり...
AB=2√55