4340：6桁の回文数...952の倍数...

問題4340・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25800983.html より Orz〜

　６桁の回文数で、952の倍数であるものは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25898063.html より Orz〜

[解答1] 

952＝8･7･17 です。
求める回文数をＮとし、上の位の数から a，b，c，c，b，a (a≠0)とすると、
N＝100001a＋10010b＋1100c になります。

N＝8(12500a＋1251b＋137c)＋(a＋2b＋4c) ですので、a＋2b＋4c は 8の倍数、
N＝7(14286a＋1430b＋157c)＋(−a＋c) ですので、−a＋c は 7の倍数、
N＝17(5882a＋588b＋64c)＋(7a＋14b＋12c) ですので、7a＋14b＋12c は 17の倍数です。

a＋2b＋4c が 8の倍数だから、ａは偶数で、−a＋c が 7の倍数だから、
(a，c)＝(2，2)，(4，4)，(6，6)，(8，8)，(2，9)，(8，1) だけが適します。

次に、7a＋14b＋12c が 17の倍数だから、6倍して、42a＋84b＋72c は 17の倍数、
17(2a＋5b＋4c) を引いて、8a−b＋4c は 17の倍数です。

上記の(a，c)に対して、8a＋4c＝24，48，72，96，52，68 だから、
ｂを引いて 17の倍数にできるのは、24−7＝17，72−4＝68，52−1＝51，68−0＝68 です。
従って、(a，b，c)＝(2，7，2)，(6，4，6)，(2，1，9)，(8，0，1) 、

このうち、a＋2b＋4c が 8の倍数になるのは、(a，b，c)＝(2，7，2)，(2，1，9) で、
求める６桁の回文数は、272272＝952･286 ，219912＝952･231 です。 


[解答2] [解答1]の a＋2b に着目した改良版 

求める回文数をＮとし、上の位の数から a，b，c，c，b，a (a≠0)とすると、
N＝100001a＋10010b＋1100c になります。

952＝7･136 で、

N＝7(14286a＋1430b＋157c)＋c−a だから、c−a は 7の倍数、
N＝136(735a＋73b−10c)＋41a＋82b＋2460c＝136(735a＋73b−10c)＋41(a＋2b＋60c) だから、

　 a＋2b＋60c は 136 の倍数、a は偶数です。
2≦a＋2b＋60c≦576 だから、a＋2b＋60c＝136，272，408，544 しか考えられません。
2≦a＋2b≦26 に注意して、(a＋2b，c)＝(16，2)，(4，9) になります。

a が偶数、c−a が 7の倍数であることに注意して、(a，b，c)＝(2，7，2)，(2，1，9) となって、
N＝272272，219912 になります。

[解答3] 

偶数桁の回文数は 11の倍数になりますので、求める回文数は 952･11＝10472 の倍数です。
求める回文数を 10472n として 1の位と 100000の位に着目します。

　ｎの１の位が １か６のとき、200002≦10472n≦299992 、20≦n≦28 、n＝21，26 、
ｎの１の位が ２か７のとき、400004≦10472n≦499994 、39≦n≦47 、n＝42，47 、
ｎの１の位が ３か８のとき、600006≦10472n≦699996 、58≦n≦66 、n＝58，63 、
ｎの１の位が ４か９のとき、800008≦10472n≦899998 、77≦n≦85 、n＝79，84 です。

10472･21＝219912 ，10472･26＝272272 ，10472･42＝439824 ，10472･47＝492184 ，
10472･58＝607376 ，10472･63＝659736 ，10472･79＝827288 ，10472･84＝879648 だから、

求める６桁の回文数は、272272 ，219912 です。 

*なるほどぉ〜 ^^...

  わたしのは駄目駄目解答でした...こんなに暑いとき...

  頭をヒートアップさせてどうするってんだってな...

  計算たんまりいてこましちゃいましたぁ...^^;...

abccba=952*m
952*(10^2*a+10*b+c)
=95200*a+9520*b+952*c


c=1,6,
a=2 or 3
95200*2+952+9520*b=191352+9520*b=219912...b=2
95200*2+952*6+9520*b=196112+9520*b=272272...b=8
95200*3+952+9520*b=286552+9520*b=なし
95200*3+952*6+9520*b=291312+9520*b=なし

c=2 or 7
a=4 or 5
95200*4+952*2+9520*b==382704+9520*b=なし
95200*4+952*7+9520*b=387464+9520*b=なし
95200*5+952*2+9520*b=477904+9520*b=なし
95200*5+952*7+9520*b=482664+9520*b=なし

c=3 or 8
a=6 or 7
95200*6+952*3+9520*b=574056+9520*b=なし
95200*6+952*8+9520*b=578816+9520*b=なし
95200*7+952*3+9520*b=669256+9520*b=なし
95200*7+952*8+9520*b=674016+9520*b=なし

c=4 or 9
a=8 or 9
95200*8+952*4+9520*b=765408+9520*b=なし
95200*8+952*9+9520*b=770168+9520*b=なし
95200*9+952*4+9520*b=860608+9520*b=なし
95200*9+952*9+9520*b=865368+9520*b=なし

けっきょく...
219912=952*221
272272=952*286...

つまり...プログラムでやってるのと何ら変わらなかったわけ...Orz...