問題4345・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25830460.html より Orz〜
自然数ｎについて、Sn＝12＋22＋32＋……＋n2 とします。
S24＝4900 のように Sn の下２桁が 00 となるような自然数ｎのうち、
小さい方から８番目のものは？
解答
[解答1]
Sn＝n(n＋1)(2n＋1)/6 で、n，n＋1，2n＋1 の１つが３の倍数だから、
n(n＋1)(2n＋1) が 200＝8･25 の倍数であればよいことになります。
n，n＋1，2n＋1 のうち、n，n＋1 の片方が偶数で他方が奇数、2n＋1 は奇数です。
以下、k，m を自然数とします。
n が 200 の倍数のとき、n＝200k と書けます。
n＋1 が 200 の倍数のとき、n＋1＝200k と書け、n＝200k−1 です。
n が 25 の倍数で奇数のとき、n＋1 が 8 の倍数です。
n＝25m とおくと、n＋1＝25m＋1＝24m＋m＋1 、m＋1 は 8 の倍数で、
m＋1＝8k とおくと、m＝8k−1 、n＝25(8k−1)＝200k−25 と書けます。
n＋1 が 25 の倍数で奇数のとき、n が 8 の倍数です。
n＋1＝25m とおくと、n＝25m−1＝24m＋m−1 、m−1 は 8 の倍数で、
m−1＝8(k−1) とおくと、m＝8k−7 、n＝25(8k−7)−1＝200k−176 と書けます。
2n＋1 が 25 の倍数のとき、奇数だから、2n＋1＝50m−25 と表せ、n＝25m−13 です。
n が 8 の倍数のとき、n＝25m−13＝24m−8＋m−5、m−5 は 8 の倍数で、
m−5＝8(k−1) とおくと、m＝8k−3 、n＝25(8k−3)−13＝200k−88 と書けます。
n＋1 が 8 の倍数のとき、n＋1＝25m−12＝24m−8＋m−4、m−4 は 8 の倍数で、
m−4＝8(k−1) とおくと、m＝8k−4 、n＝25(8k−4)−13＝200k−113 と書けます。
結局、n＝200k−176， 200k−113， 200k−88， 200k−25， 200k−1， 200k となります。
k＝1 のとき、n＝24，87，112，175，199，200 、
k＝2 のとき、n＝224，287，312，375，399，400 、
……………………………
小さい方から８番目のものは 287 です。
[解答2]
Sn＝n(n＋1)(2n＋1)/6＝2n(2n＋1)(2n＋2)/24 で、2n，2n＋1，2n＋2 は連続３整数で、
その積は３の倍数だから、2n(2n＋1)(2n＋2) が 800＝32･25 の倍数であればよいことになります。
2n，2n＋1，2n＋2 のうち、2n＋1 は奇数で、
2n，2n＋2 の片方が４の倍数で、他方が４の倍数でない偶数ですので、４の倍数の方は 16の倍数です。
2n，2n＋1，2n＋2 に５の倍数は２つ以上ありませんので、５の倍数のものは 25の倍数です。
ここで、ｃを整数の定数として、25x＝16y＋c の整数解を求めてみます。
25･9c＝16･14c＋c ですので、25x＝16y＋c から辺々減じて、25(x−9c)＝16(y−14c) 、
よって、整数ｋを用いて、 x−9c＝16k ，y−14c＝25k すなわち x＝16k＋9c ，y＝25k＋14c と表され、
25x＝400k＋225c ，16y＝400k＋224c となります。
これは、(25の倍数)＝(16の倍数)＋c とすれば、
25の倍数は 400k＋225c ，16の倍数は 400k＋224c と表されることを意味します。
これをもとに、すべての場合を機械的に書き出せば、
2n が 16の倍数 かつ 25の倍数 のとき、c＝0 で、
2n＝400k 、n＝200k 、n≡0 (mod 200) になります。
2n が 16の倍数 かつ 2n＋1 が 25の倍数 のとき、c＝1 で、
2n＝400k＋224 、n＝200k＋112 、n≡112 (mod 200) になります。
2n が 16の倍数 かつ 2n＋2 が 25の倍数 のとき、c＝2 で、
2n＝400k＋448 、n＝200k＋224 、n≡24 (mod 200) になります。
2n＋2 が 16の倍数 かつ 2n が 25の倍数 のとき、c＝−2 で、
2n＋2＝400k−448 、n＝200k−225 、n≡175 (mod 200) になります。
2n＋2 が 16の倍数 かつ 2n＋1 が 25の倍数 のとき、c＝−1 で、
2n＋2＝400k−224 、n＝200k−113 、n≡87 (mod 200) になります。
2n＋2 が 16の倍数 かつ 25の倍数 のとき、c＝0 で、
2n＋2＝400k 、n＝200k−1 、n≡199 (mod 200) になります。
結局、n≡0，24，87，112，175，199 (mod 200) となって、
n＝24，87，112，175，199，200，224，287，312，375，399，400 ……
小さい方から８番目のものは 287 です。
*ほぼ同じでした ^^
S(n)=n(n+1)(2n+1)/6=2^2*5^2*m
n(n+1)(2n+1)=2^3*5^2*3*m
n,n+1,2n+1 は、互いに素...
n=25k のとき...
k=7,8,15...1801800, 2686700,(17648500)
n+1=25k のとき...
k=1,8,9,16,...4900,2646700,3771600,(21253400)
2n+1=25k のとき...
k=7,9,23,25..223300,474600,7921200,(10172500)
8番目は...7921200なので...
2n+1=25*23のとき...
つまり...n=(25*23-1)/2=287
結構な計算でしたぁ〜^^;
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