アットランダム≒ブリコラージュ

4355：△との交わる弦の長さが同じになる半径...

問題4355・・・浮浪の館 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・なかさんのもの Orz〜

３辺が１３：１４：１５の三角形の面積が整数になるのが意外でしたが、
調べてみると、連続する３整数を３辺とする三角形の面積が整数になるケースは、
４けた以内では６例だけ存在しました。ｒは内接円の半径です。

（　　　　３　　　　４　　　　５　）　　ｒ＝　　１
（　　　１３　　　１４　　　１５　）　　ｒ＝　　４
（　　　５１　　　５２　　　５３　）　　ｒ＝　１５
（　　１９３　　１９４　　１９５　）　　ｒ＝　５６
（　　７２３　　７２４　　７２５　）　　ｒ＝２０９
（　２７０１　２７０２　２７０３　）　　ｒ＝７８０

ここで ｒの数列を見ると、
ｒ（ｎ）＝４ｒ（ｎ−１）−ｒ（ｎ−２）が成り立っています。
３辺の真ん中、４，１４，５２，１９４・・・も同様。
そして、その比は　√３／６　に収束していくはずです。

ちなみに　６×７８０／２７０２＝１．７３２０５０３３・・
知りませんでした

4354：最小値...△の内部の点から各辺までの距離の和...

問題4354・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25861601.html  より Orz〜

　３辺の長さが 3，4，5 の三角形と内部の点Pがあります。
Pから３辺に垂線PA，PB，PCをおろしたとき、 PA²＋PB²＋PC² の最小値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25958526.html より Orz〜

[解答1] 計算力まかせで

３つの頂点を(0，0)，(4，0)，(0，3)， P(p，q) とすれば、
(4，0)，(0，3)を通る直線は 3x＋4y−12＝0 だから、
PA＝p，PB＝q で、ヘッセの公式により PC＝|3p＋4q−12|/5 になります。

PA²＋PB²＋PC²＝p²＋q²＋(3p＋4q−12)²/25
＝(34p²＋24pq＋41q²−72p−96q＋144)/25
＝ ……
＝2(17p＋6q−18)²/425＋(25q−24)²/425＋72/25

従って、17p＋6q−18＝0 かつ 25q−24＝0 のとき、すなわち、p＝18/25，q＝24/25 のとき
最小値は 72/25 になります。

☆ wind156さんのコメントより (平方完成が面倒なら)

f(x，y)＝(34x²＋24xy＋41y²−72x−96y＋144)/25 として、
∂f/∂x＝(68x＋24y−72)/25＝0 ，∂f/∂y＝(24x＋82y−96)/25＝0 を解いて、
x＝18/25，y＝24/25 のとき最小、f(18/25，24/25)＝72/25 です。


[解答2]

3PA＋4PB＋5PC は、この三角形の面積の２倍だから、3PA＋4PB＋5PC＝12 になります。
コーシー・シュワルツの不等式により、
(3²＋4²＋5²)(PA²＋PB²＋PC²)≧(3PA＋4PB＋5PC)² 、
50(PA²＋PB²＋PC²)≧12² 、
PA²＋PB²＋PC²≧72/25 、
従って、最小値は 72/25 になります。
最小値をとるのは、PA：PB：PC＝3：4：5 だから、PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k とすれば、
3PA＋4PB＋5PC＝12 より、50k＝12 、k＝6/25 だから、PA＝18/25，PB＝24/25，PC＝6/5 です。

★ この方法を使えば、直角三角形でなくても解くことができます。
ふじもさんよると、この点Pは「ルモアーヌ点」というそうです。詳しくは、
ふじもさんのHP( http://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Lemoine_point.html )をご覧下さい。


[解答3]

直角の頂点を O とすれば、
PA²＋PB²＋PC²＝PO²＋PC²＝{(PO＋PC)²＋(PO−PC)²}/2
PO＋PC を最小にするには、Oから斜辺におろした垂線の足をCとして、OC上にPをとればよく、
|PO−PC| を最小にするには、PO＝PC とすればよいので、
Oから斜辺におろした垂線の足をCとして、OCの中点をPとすればよいことになります。
このとき、もとの三角形の面積から、5･OC/2＝4･3/2 、OC＝12/5 です。
PA²＋PB²＋PC²＝(12/5)²/2＝72/25 になります。


[参考] ふじもさんのHPを参考にしての私の考察

　３頂点の位置ベクトルを a，b，c とし、その対辺の長さを a，b，c とすれば、
「ルモアーヌ点」の位置ベクトルは、(a²a＋b²b＋c²c)/(a²＋b²＋c²) です。

本問の場合は、[解答1]のように頂点を決めれば、
{25(0，0)＋9(4，0)＋16(0，3)}/(25＋9＋16)＝(36，48)/50＝(18/25，24/25) になります。

長さ a の辺の中点をM，他の頂点から長さ a の辺におろした垂線の中点をN とすれば、
「ルモアーヌ点」は、MN を 2a²：(b²＋c²−a²) に分ける点になります。
従って、「ルモアーヌ点」は、(ふじもさんのHPのように)辺の中点と垂線の中点を結ぶ直線３本の交点です。

*奥の深い問題でしたね♪

  コーシーシュワルツの不等式で一発...威力まざまざ ♪

解法3も巧いなぁ♪

ちなみに...わたしのグスイ解き方...

AP^2+BP^2=対角線^2
対角線^2+PC^2 が直線でなかったら...
その直線上にPから高さhの垂線を引くと...それを新たにP'とすると..
P'C^2+P'を通る対角線^2=(対角線^2-h^2)+(PC^2-h^2)
≦対角線^2+PC^2
等号は...h=0 のときなので...
Pは...△の左下角から対辺への垂線上の角からxのところに取れる。
垂線の長さ=4*3/5=2.4
対角線^2+PC^2=x^2+(2.4-x)^2
=2*x^2-4.8*x+(2.4)^2
=2(x-1.2)^2+(2.4)^2-2*(1.2)^2
≧ 2*(1.2)^2=2.88