アットランダム≒ブリコラージュ

4369：便利数...

問題4369(友人問)

n^2+1 が 1000001 で割り切れる場合、自然数 n を“便利数”とよびます。

1, 2 ,…….., 1000000 の中には偶数個の便利数があることを示せ。

解答

・わたしの

n^2+1

最も小さい n は 1000 なので...

n^2+1-(1000^2+1)=1000001*k

n^2-1000^2=1000001*k...(1000000^2-1000^2)/1000001=999998

1000001=101*9901

101, 9901 とも素数

(n-1000)(n+1000)=101*9901*k

n があるとすると...k,n とも奇数 or k=4a*b, 

k,n とも奇数のとき...k=a*b...a,b とも奇数...

n=(101*a+9901*b)/2 で表せ...999998/2=499999

k=4a*b のとき...

n=101*a+9901*b で表せ...999998/4=249999...2

つまり...奇数+奇数=偶数になる!!

499999+249999=749998

でいいかなぁ...?

↑

間違ってるようですね...^^;...Orz...

↓

・cpc*j*12さん からのもの Orz〜

n=1000 は最小の便利数である．1000^2+1=1000001．
素因数分解すると、1000001=101*9901．n=1000+m (m>0) とおく．

n^2+1=m^2+2000m+1000001≡m(m+2000)≡0 (mod 101*9901)．
9901≡3 (mod 101), -2000≡20 (mod 101) である．

先ず、m=9901k とすると、n=9901k≦1000000 より、k≦100．
この範囲には、(mod 101) で、m≡0 になるような k はない． 
次に、m+2000=9901k とすると、n=9901k-1000≦1000000 より、k≦101．
この範囲で、(mod 101) で、m≡0 とすると、3k+20≡0．
唯一 k=27 が求まる．n=9901*27-1000=266327．

従って、n≦1000000 の範囲には、
1000 と 266327 の 2つの便利数がある．

・たけちゃんさん 様からのもの Orz〜

m=9901k,m=101lとなるmはなく，
m=9901k,m+2000=101lとなるmは，3k-20≡0(mod101)から，k=74,m=732674,n=733674.
m+2000=9901k,m=101lとなるmは，3k+20≡0(mod101)から，k=27,m=265327,n=266327.
m+2000=9901k,m+2000=101lとなるmは，m+2000が1000001の倍数で，m=998001,n=999001.

よって，n≦1000000 の範囲の便利数は，
1000,266327,733674,999001 の 4つですね．

実際，nが便利数のとき，1000001-nも便利数であることがわかります．
実は，個数が偶数であることを示すには，この事実だけで十分です．

*みなさん同じ答を得られてるのね...♪

わたしにも分かるか知らん...^^;...

また、熟読玩味ぃ〜m(_ _)m〜

4368：球の折りたたみ...

問題4368(自作問 ^^)

半径10 の球において、中心Oから 8 のところにある点Pに向けて、球の表面の任意の点を点Pに重なるようにする。ただし、任意の点と点Pを通る*大円(だいえん)上で折りたたまれているものとする。

このとき、大円において想定される折れ線が通らない図形の体積を求めてください。

球面上の任意の点Xから、球内の点Pに折り畳む図を描くと...

↓

*大円について...以下参照 Orz〜

http://ja.wikipedia.org/wiki/球面 より

「球面と平面が交わるとき、共通部分は円となる。このうち交差する平面が球の中心を通る場合にできる円の半径は最も大きくなり、特に大円（だいえん）と呼ばれる。」

解答

これ...算トラにエントリーしようと思ったけど...球の体積は算数の範囲を逸脱してるんですねぇ...^^;

で...こちらにアップしてみました...^^

あることに気づけば瞬殺か...?