アットランダム≒ブリコラージュ

4290：6桁の7の倍数...

問題4290(友人問)

Aは6桁の数で、そのうち3個の数字は1,2,4で、これらには色が塗られている。

このとき、この色が塗られた3個の数字を消去するか、

Aの各桁の数字を適当に並び変えると、

かならず7の倍数をつくることが出来ることを証明せよ。

解答

・わたしの

124≡5

142≡2

214≡4

241≡3

412≡6

421≡1

なので...

残りの３個の数 a,b,c とすると...

abc も 6種類の並びになり...

その並びが mod 7 で 0なら...1,2,4 を抜けばいいし、

それ以外なら...1000≡6　mod 7 なので...

abc000≡1*6=6 or 2*6=5 or 3*6=4 or 4*6=3 or 5*6=2 と...  1,2,3,4,5,6 のいずれかだから...

下３桁に...上の1,2,4 の組み合わせの mod 7 で　1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1 と選べるので可能♪

こりゃ以前同じのあったと思う...Orz...

ヘロン島 ...Heron Islamd...♪

ヘロンづくしになってるけど...^^

こんな素敵なスポット見つけた♫

画像：http://www.cairnsguide.com/sea_beach/heron_islamd/ より Orz〜

〜 サンゴ礁に囲まれた島は、ウミガメの産卵地としても有名 〜

南回帰線近くにあるヘロン島はサンゴの欠片が堆積して出来た小さな島、・・・正真正銘のコーラルケイです。グラッドストーンという小さな町から北東に72Km、クイーンズランド州の州都であるブリスベンから北に539Kmにあり、グレートバリアリーフの南端に位置しています。

・・・またグレートバリアリーフで見られる全種類のサンゴのうち72％の種類が、この小さな島の周りで見られると言われています。特にウミガメの産卵地としても有名で、毎年12月から翌4月にかけて1000匹を超えるウミガメがヘロン島の砂浜に産卵をする為にやって来ます。・・・

ヘロン島にあるリゾートは１軒のみ。リゾートの建物は全て島に生える木々の高さより低く建てられているので、昔のままの自然な島の姿を見ることが出来ます。
また、ヘロン島には日帰り客は来ません。リゾートの宿泊客だけがここを訪れる事が出来るのです。日々の喧騒を忘れて、心からリラックスした休日をヘロン島リゾートで過ごしましょう。
リゾートには6タイプ、計109室あり、全ての部屋にバルコニーまたはパティオ、天井ファン（扇風機）、冷蔵庫、ラジオ、アイロン＆アイロン台、ヘアドライヤー、傘、コーヒー＆紅茶設備、ビーチタオルが設置されています。(*テレビないらしい...エアコンもないのかなぁ...^^;...)

ヘロン島へのアクセス

ヘロン島からの最寄の町はグラッドストーン。

ヘロン島には、このグラッドストーンからヘリコプターまたは高速フェリーで訪れる事が出来ます。

グラッドストーンには、オーストラリア各都市から国内線（カンタス航空など）が飛んでいます。」

画像：http://www.ne.jp/asahi/masashi/watanabe/heron/heronj.htm より Orz〜

アクセス

ヘロン島の最寄りの本土の基地はグラッドストーンです。グラドストーンはブリスベーンの北539Ｋｍ，人口22,000人の小さな町ですが、クイーンズランド最大の貿易港であり、内陸から、ここを経由して石炭を輸出していますし、その外、アルミ、セメント等大きな工場が多い町です。

島へのアクセスは、直接ヘリコプターで、３０分。

船は１日１往復、１５０人は乗れるでしょう。約２時間かかります。 (*う〜ん...飛行機恐怖症のわたしにゃ...悩ましい...^^;)

船着き場で、チェックインし、部屋番号を教えてくれ、荷物は、ここで預けます。部屋の鍵はありません。 その必要がないほど平和な島です。

ヘロン島はＧＢＲの島々の中でも珍しくサンゴ礁が隆起して、できた島。ＧＢＲ（グレートバリアリーフ）には、北から主なものとして、リザート、グリーン、フィッロイ、ケッペル、ハミルトン、ヘイマン、マグネティク、ダンクと数々の島があります。　しかし、いずれも独立した島で、その周囲がリーフに囲まれていません。これらの島を拠点にしてダイビングに出かけますと、ダイビングスポットまで、ボートで１−２時間かかりますが、ここヘロン島は周囲がリーフですから、ダイビングスポットに囲まれた島でして、ダイビングスポットまで、近いところで３分、遠くても１５分位で、リーフの周辺だけでも、１６ケ所のポイント、隣のウィスターリーフにも数カ所あります。１０日ぐらい泊まっていても、ダイビングスポットの選択に事欠きません。

この島は、ＧＢＲの最南端の南回帰線上にあり、亜熱帯に属しますが、島には結構椰子の木が生育していました。この島は、国立公園に指定され、鳥が多く、手厚く保護されているようです。
歩いて３０分で、１周でき、白砂がとても綺麗です。・・・」

ダイビングの練習はじめよっかなぁ〜〜〜♪ ^^v

画像：http://www.ats.co.jp/product_info.php?products_id=549 より Orz〜

アイオロスの球 / ヘロンタービン...♪

ヘロンって方は...レオナルド・ダ・ヴィンチみたいですね !!

画像：http://ipn.spysee.jp/アレクサンドリアのヘロン より Orz〜

画像：http://steampunk.seesaa.net/article/93484063.html より Orz〜

「ギリシア人の工学者・数学者ヘロンは、高校生以上の方なら「ヘロンの公式（三角形の面積を求める公式）」でご存じかもしれませんね。彼は他にも蒸気の圧力を使った蒸気で開く自動ドア、蒸気タービンなどを発明しました。この画像は蒸気で動くしかけ「アイオロスの球」です。球の内部で水を沸騰させると、ノズルから勢いよく蒸気が噴き出し、球がクルクル回る仕掛けです。でも具体的にこれが何らかの装置として実用化された記録はなく、蒸気機関の本格的な発達には17世紀の終わりまで待たねばなりません。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/アイオロスの球 より

「アイオロスの球（アイオロスのたま、aeolipile）またはヘロンの蒸気機関（ヘロンのじょうききかん、Hero engine）は、熱することでロケットのように噴射して回転するジェットエンジンである。紀元1世紀ごろ、アレクサンドリアのヘロンがこの装置を文献に記し、多くの文献が彼が発明者だとしている。

ヘロンの描いたアイオロスの球は、世界初の蒸気機関または蒸気タービンとされている。"aeolipile" の語源はギリシア語の "aeolos"（アイオロス）と "pila"（球）で、アイオロスはギリシア神話の風の神である。

アイオロスの球は、紀元前1世紀にウィトルウィウスが『建築について』で記述しているが、回転についての描写がないため、同じ装置を描写しているのか、アイオロスの球の元になった装置なのか不明である。」

*これって、効率めちゃくちゃよさそうに思えるけど...?

 タービンの嚆矢だろけど...同じ原理なんですよね？

↓

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/ガスタービンエンジン より

ヘロン三角形...

ヘロンって方は...ヘロンの定理で有名だけど...そもそもヘロンの定理ってすごいのをどうやって証明したんだろうと思ったけど...紀元前2世紀頃には、すでにユークリッド原論は存在してたようで...その中に余弦定理も載ってたようですね !!

http://ja.wikipedia.org/wiki/余弦定理 より

「・・・

ユークリッド原論の第2巻命題12では ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたとき

c² = a² + b² − 2abcosγ

が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。

イスラム世界では 10世紀に活躍した天文学者であり数学者のアル・バッターニーは、これらの結果を球面幾何学にまでひろげ星の間の距離を測定した。15世紀には、アル・カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは余弦定理の事を アル・カーシーの定理(Théorè me d'Al-Kashi) と呼ぶ。

西洋での余弦定理は16世紀にフランソワ・ビエタによって独自に発見されたことで有名になり、19世紀初頭から現代のような数式で書かれるようになった。・・・」

*それを使ったものと幾何学的な証明(難い...^^;) は以下のサイト参照 ♪

http://yosshy.sansu.org/heron2.htm

http://yosshy.sansu.org/heron.htm

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron2.htm より Orz〜

ヘロン数とピタゴラス数

「三角形の三辺とその面積が全て整数となるものを、ヘロン数といい、そのような三角形は、ヘロン三角形と呼ばれる。

任意の自然数 α＞β に対して、ピタゴラス数は、次の３つの数の組で与えられる。

α²＋β²　、　α²−β²　、　２αβ

このピタゴラス数を用いて、ヘロン数といわれるものが作られる・・・

任意の自然数 α≧β＞γ に対して、次の４つの数の組：

　　　ａ＝（α²＋γ²）β、ｂ＝（β²＋γ²）α、ｃ＝（αβ−γ²)(α＋β）、

Ｓ＝αβγ（αβ−γ²)(α＋β）

は、ヘロン数となる。このヘロン数は、ピタゴラス数を用いて、次のように考えることで容易に得られる。

（注意）ヘロン数に関して、広島工業大学の大川研究室より、以下のことをご教示頂きました。

上記のヘロン数の構成では、ピタゴラス三角形を２つ考えて合成した。したがって、少なくとも一つの底辺に対する高さが整数となる。しかし、一般のヘロン三角形では、いつもそうなるとは限らない。どの辺を底辺としても、それに対する高さが整数とならない場合がある。例えば、ａ＝５、ｂ＝２９、ｃ＝３０、Ｓ＝７２　の場合である。
ところで、この三角形は、５倍すると、ピタゴラス三角形を２つ組み合わせた三角形になる。

一般に、ヘロン三角形は、何倍かすると、ピタゴラス三角形の組み合わせとなる。

（追記）　 三角形の三辺とその面積が全て整数となるものを、ヘロン数といったが、その
　　　　　　中で、三辺の長さの和（三角形の周の長さ）が面積と等しくなる場合がある。

ピタゴラス数からは、　（５ ， １２ ， １３）、（６ ， ８ ， １０）

実際に、三角形の三辺の長さが、（５ ， １２ ， １３）のとき、

　　　　周の長さは、５＋１２＋１３＝３０

　　　　面積は、　５×１２÷２＝３０

で、確かに成り立つ。　（６ ， ８ ， １０）も同様である。

ヘロン数からは、　（７ ， １５ ， ２０）、（６ ， ２５ ， ２９）、（９ ， １０ ， １７）

実際に、三角形の三辺の長さが、（７ ， １５ ， ２０）のとき、

　　　　周の長さは、７＋１５＋２０＝４２

　　　　面積はヘロンの公式を用いて、Ｓ²＝２１×１４×６×１＝４２²　　より、　Ｓ＝４２

で、確かに成り立つ。　他も同様である。・・・」

*辺の長さだけから三角形の面積を求める公式を編み出したヘロンに敬意を表して、各辺が自然数のものを彼の名を冠して呼ぶようにしたのでしょうね...きっと♪

各辺が有理数なら...その分母の最小公倍数をかければ...すべてヘロンの三角になっちゃうわけだし...^^

ようは...

斜辺以外の辺の長さが同じ直角三角形を足し算するか...引き算すればいいってことですよね？

4289：辺と対角線がすべて整数の直方体...

問題4289・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron2.htm より Orz〜

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron17.gif　が自然数となるような ｘ 、 ｙ 、ｚ　を求めよ。

解答

上記サイトより Orz〜

答は、ｘ＝α²＋β²−γ²、ｙ＝２αγ、ｚ＝２βγ　　（α、β、γは自然数）である。

実際に、
ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝（α²＋β²−γ²）²＋（２αγ）²＋（２βγ）²

＝α⁴＋β⁴＋γ⁴＋２α²β²−２β²γ²−２γ²α²＋４γ²α²＋４β²γ²

＝α⁴＋β⁴＋γ⁴＋２α²β²＋２β²γ²＋２γ²α²

＝（α²＋β²＋γ²）²

から明らかだろう。

図のような直方体で、辺と対角線の長さをともに整

数にしたい場合、上記公式は有効である。

（左図では、α＝２、β＝γ＝１　としている。）


（参考文献：深川英俊、ダン・ソコロフスキー　著　

　　　　　　日本の数学　何題解けますか？（上）　（森北出版））

*上の場合...ｘ＝α²−β²−γ²、ｙ＝２αβ、ｚ＝２αγ でもいいですよね？

 √(a^2+b^2+c^2+d^2) は、4C2=6 だから...

  a=x^2-y^2-z^2-w^2 にすればいいのかな...?

  b=2xy, c=2xz, d=2xw なら...

  (x^2-y^2-z^2-w^2)^2+4(xy)^2+4(xz)^2+4(xw)^2

  =x^4+y^4+z^4-2(xy)^2-2(xz)^2-2(xw)^2+2(yz)^2+2(yw)^2+2(zw)^2+4(xy)^2+4(xz)^2+4(xw)^2

  =(x^2+y^2+z^2+w^2)^2

になるわいな ♪

一般に...n次のときは...

x(1)^2-x(2)^2-...-x(n)^2, 2x(1)(2), 2x(1)x(2),...,2x(1)x(n) と置けば満たすものが得られますね ^^