アットランダム≒ブリコラージュ

4442：格子点...中点...

問題4442・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26422226.html  より Orz〜

原点Oと座標軸上にない格子点Pがあって、直線OPは 直線 x＝15 ，直線 y＝3 と、異なる点A，Bで交わり、点Pは線分ABの中点になりました。

このような条件を満たす点Pは何個？　

また、そのうちいちばん右のもの(ｘ座標が最大のもの)の座標は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26516377.html  より Orz〜

A(15，a)，B(b，3)，P(p，q) とします。
15：a＝p：q より a＝15q/p ，b：3＝p：q より b＝3p/q になります。
また、点Pは線分ABの中点だから、2p＝15＋b ，2q＝a＋3 です。
よって、2p＝15＋3p/q ，2q＝15q/p＋3 となって、いずれにしても 2pq＝15q＋3p です。
変形して、(2p−15)(2q−3)＝45 となります。

p，q が 0以外の整数とすれば、
(2p−15，2q−3)＝(±1，±45)，(±3，±15)，(±5，±9)，(±9，±5)，(±45，±1) です。

〔 (2p−15，2q−3)＝(−15，−3) の場合は (p，q)＝(0，0) だから除かなければなりません。〕
〔 (2p−15，2q−3)＝(15，3) の場合は A，B が一致するから除かなければなりません。〕

従って、格子点となるのは 10個です。

このうち、ｘ座標が最大になるものは、(2p−15，2q−3)＝(45，1) 、(p，q)＝(30，2) です。


☆ 整数という条件がなければ、軌跡が直角双曲線 (2x−15)(2y−3)＝45 から２点を除いたものになります。 

*そうか、相乗!! ^^;...気づけなかった...

 わたしの...

((x+15)/2,(3+y)/2)=(X,Y)

上から、x,y は奇数の整数
(y-3)/(15-x)=3/x=y/15
xy=45=1*45=3*15=5*9

プラスマイナスも考えて...2*6=12個
x=15,y=3 はないので...
12-1=11個　←ず〜っと、これで間違いと言われ諦めてました...^^;...

Max x は...
x=45,y=1
(45+15)/2=30
(3+1)/2=2
P=(30,2)

4441：長さ...正方形と三角...

問題4441・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org/  より Orz〜

面積が２cm²である正方形ＡＢＣＤがあります。
上の図は、辺ＢＣの延長上にＢＣ：ＣＱ：ＱＰ＝４：３：２１となる点Ｑ、点Ｐをとり、ＡＰとＤＱの交点をＲとしたところを表しています。

このとき、ＣＲの長さを求めてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・uchinyanさんのもの Orz〜

これは，受験算数としては標準的，算チャレとしてはやや易しめかなぁ。 
これもいろいろな解法があるかも，ですが，私はこんな感じで。 

まず，明らかに，△ADR ∽ △PQR で DR：RQ = AD：PQ = BC：PQ = 4：21 です。 
次に，∠DCQ = 90°，CQ：CD = CQ：BC = 3：4 より △QCD は 3：4：5 の直角三角形で， 
QC：CD：DQ = 3：4：5 = 15：20：25 になります。 
そこで，QC：QR = 15：21 = 5：7 = QD：QB になり，△QCR ∽ △QDB で CR：DB = QC：QD = 3：5 になります。 
ここで，DB = BD は 正方形である □ABCD の対角線なので BD * BD = AC * BD = □ABCD * 2 = 2 * 2，DB = BD = 2 cm で， 
CR：2 = 3：5，CR = 6/5 cm，になります。 

C から DQ に垂線を下ろしその足を H として， 
3：4：5 を使って HC = HR，△HCR は直角二等辺三角形を示し，△HCR ∽ △CBD から求めてもいいですね。 
多少手間がかかりますが，この方が分かりやすいかも知れません。

*熟読玩味ぃ〜...^^;v

 わたしゃどうやって解いたのか思い出せない...^^;;...