アットランダム≒ブリコラージュ

4446：角度...難問...

問題4446・・・某サイトより Orz〜

図で，ＡＣの長さは１０cm，ＡＦの長さは６cmで，

(ＡＤの長さ)：(ＢＤの長さ)＝３：２

(ＢＥの長さ)：(ＥＣの長さ)＝５：２
であるとき，図のアの角度は何度ですか。

　(灘中)

解答

http://www.suguru.jp/www.monjirou.net/semi/nanmon/nanmon2/nanmon2.html へ Go〜!!

(天下の灘中の問題の中でも，とくにむずかしい問題だと思います。)...とのコメ付き問...^^;

4445：小数...第303位の数字...

問題4445・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26452103.html  より Orz〜

a＝303．030303…… (循環節が 03 の循環小数)とします。
a² を小数で表すとき、その小数第303位の数字は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26553074.html  より Orz〜

[解答1] 

10³⁰²a² の小数第１位の数を求めることになります。
a＝10⁴/33 だから、10³⁰²a²＝10³¹⁰/33²＝9･10³¹⁰/99² です。
9x¹⁵⁵ を (x−1)² で割った商を Q(x)，余りを ax＋b とすると、
9x¹⁵⁵＝(x−1)²Q(x)＋ax＋b になります。

微分すると、1395x¹⁵⁴＝2(x−1)Q(x)＋(x−1)²Q'(x)＋a となり、
両方に x＝1 を代入すると、9＝a＋b ，1395＝a 、よって、a＝1395，b＝−1386、
9x¹⁵⁵＝(x−1)²Q(x)＋1395x−1386 になります。

x＝100 を代入すれば、
9･10³¹⁰＝99²Q(100)＋138114＝99²Q(100)＋99²･14＋900
9･10³¹⁰/99²＝Q(100)＋14＋900/99²＝Q(100)＋14＋900/9801 の小数第１位は 0 です。


[解答2] 

a²＝(100a/3)(3a/100)＝10101．010101……×9．09090909……
＝90909．09090909……＋909．09090909……＋9．09090909……＋0．09090909……＋0．00090909……
＋0．00000909……＋0．00000009……＋……

この式で、小数第(2k−1)位の和は 0，小数第(2k)位の和は 9(k＋3) になります。
小数第303位の和は 0，小数第304位の和は 1395，小数第305位の和は 0，小数第306位の和は 1404，
小数第307位の和は 0，小数第308位の和は 1413　になります。　

小数点を右に303桁ずらして加えると、139．5＋1．404＋0．01413＋……＝140．91827……
となって、小数第303位は 0 です。 


[解答3] 

a²＝(100a/3)(3a/100)＝10101．010101……×9．09090909……
＝90909．09090909……＋909．09090909……＋9．09090909……＋0．09090909……＋0．00090909……
＋0．00000909……＋0．00000009……＋……
＝90000＋1800＋27＋0．36＋0．0045＋0．000054＋0．00000063＋0．0000000072＋0．000000000081＋……
＝91827．36455463728191000918273645546372819100091827……

　a²＝91827．のあと 22桁の循環節 3645546372819100091827 が繰り返します。
303÷22＝13 余り 17 だから、この循環節の17桁目の 0 が答です。


[参考] 

1/9801 は 0．のあと 0001020304050607080910111213……95969799 の 198桁の循環節をもちます。
その９倍である 1/1089 は 0．のあと 0009182736455463728191 の 22桁の循環節をもちます。
(この循環節を２桁ずつ区切って見てください)

本問は、a²/10⁸＝1/1089 の小数第311位(小数第3位)を求める問題で、
この綺麗な循環節をもつ分数の紹介でもあります。

・uch*n*anさんのもの Orz〜

この手の問題は，数遊びというか，計算をどうやるかがポイントになりますね。
私は二つの方法＋αで解きましたが，[解答]のいずれとも異なる解法で，
1/33^2 = 1/1089 をベースにしたものでした。
結局，10^311/33^2 の整数部分の下一桁を求めればいいことになります。
最初の解法は，これをまず 10^22 ≡ 1 (mod 33^2) を示し，10^311 ≡ 1000 (mod 33^2) より，
10^311 - 1000 が 33^2 = 1089 の倍数になることから求めました。
ただ，10^22 ≡ 1 (mod 33^2) を示すのはかなり大変です。
＋αは，直接に 1/1089 を計算するものです。
10^22 ≡ 1 (mod 33^2) から循環節が 22 桁になるのは分かるので，
手計算でも頑張ればできますし，桁数の多い電卓を叩けば一発ですね。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ↑

　　　　　　　　　　　　　　　*これ助かります...^^;...探しましたぁ^^♪

もう一つの解法は，ご参考までに書いておきましょう。

a/10^4 = 0.030303… = 03/99 = 1/33 なので，
a^2/10^8 = 1/33^2 の小数第311(= 8 + 303)位の数字を求めればよく，
10^311/33^2 の整数部分の下一桁を求めればいいです。
10^311/33^2 = (10^155/33)^2 * 10 = (3030…(30が77個)…30 + 10/33)^2 * 10
= ((100の倍数) + 3030…(30が77個)…30 * 20/33 + 100/1089) * 10
ここで，3030…(30が77個)…30 は，10 = 11 + (-1)，10^2 = 9 * 11 + 1 と，
3 が 77 = 7 * 11 個あることから，3 の倍数かつ 11 の倍数で，
しかも 10 の倍数なので，3030…(30が77個)…30 = 33 * 10 * (正の整数) と書けます。

これより，
10^311/33^2 = ((100の倍数) + 33 * 10 * (正の整数) * 20/33 + 100/1089) * 10
= (1000の倍数) + (正の整数) * 2000 + 1000/1089
= (1000の倍数) + 小数部分
そこで，10^311/33^2 の整数部分の下一桁は 0 で，a^2 の小数第303位の数字は 0 になります。

*解法１& 友人Uさんのも熟読したいけど...♪

わたしは最初...簡易に思えた解法３で考えてたんだけど...

何故か(いつもの如くという形容詞がピッタリか?) 間違って...^^;...

(303+1/33)^2=303^2+606/33+1/33^2
202/11+1/1089
=18.363636+0.000918273645

636363636363636363+918273645918273645
=15546372822 81910008
つまり...1(554637282281910009)...( ) が循環する...
303-3=300
300/18=16...12
つまり...( ) の頭から12番目=尻から7番目なので...1

どうも...

1/1089=0.0009182736455463728191 ／ 0009182736455463728191 ／ 0009182

と、22桁の循環節でしたのね...^^;

はて、わたしは何を勘違いしたんだろう...?

・友人のもの

a=10000/33　　a^2=10^8/1089=91827.36455……..　である

a^2の小数第303位10^310の小数第1位である
10^310を1089で割った余りを求める。　mod　は1089

10^8≡397　　10^16≡793　　10^32≡496　　10^64≡-98
10^128≡-197　10^256≡694

310=256+32+22　より計算して10^310≡100
よって100/1089=0.09……..　よって0

*ふ〜む...いろんな方法があるものね♪