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でたらめな形の四角形が１つあるとします。 その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割されます。 このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。 解答
むかし考えたけどわからなかった...^^;
上記サイトより Orz〜
ヒント...*これ優れもの♪
□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました
要するに△ＭＰＱ＝(1/2)△ＭＢＱ,△ＭＱＮ＝(1/2)△ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。
別の補助線を引いて△ＭＢＤ＝(2/3)△ＡＢＤ,△ＤＢＱ＝(2/3)△ＤＢＣなので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。
もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/３にはなりません。
同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。 ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論はｅ＝Ｓ/9です。 まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ h ＋ｉ＝Ｓ です。 そして,ヒントから, ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。 このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。 これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。 そこで,新しい補助線を引いて考察します。 まず,△EＡM＝(1/2)△ＥＭＤ,かつ△EＡK＝(1/2)△EＫBです。 故に,ａ＝△ＥAM＋△ＥAK＝(1/2)(△ＥＭＤ＋△EＫB)です。 言い換えると△ＥＭＤ＋△EＫB＝2ａです。そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ−3ａです
他方,△EDR＝(1/3)△DEC,かつ△EBP＝(1/3)△EBＣですから, △ＥＤＲ＋△EBＰ＝(1/3)(△DEC＋△EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤです。
以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)−2ａ＝(1/3)(Ｓ−3ａ)ですから,ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3が成立します。
対称性から,同様に,ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3も成り立つはずです。 これら４つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると, 2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3となります。
したがって,2(Ｓ−ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3より3ｅ＝Ｓ/3ですからｅ＝Ｓ/9です。 以上で終わりです。 *おおっ!! グラッチェ♪
お気に入り ^^v
これは...一般に...n分割のとき...1/n^2 と言えそうですよね...?
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