アットランダム≒ブリコラージュ

367

問題367

下の図 (wiki より) はある果物の栽培面積を表しています ^^

さてそれは一体なんでしょう？

ヒント...その花 (wiki より) です...♪

KEY COFFEE 氷温熟成珈琲...

夏はアイス♪

いくらでも飲みたいけど...飲みすぎて、気分悪くなったりしてる...カフェイン中毒か...^^;...?

娘は好きだと言ってる...やっぱり好みの問題かなぁ...?

http://www.zakzak.co.jp/top/200810/t2008102136_all.html より Orz〜

「「氷温」とは聞き慣れないが、最近、各方面で注目の技術だ。水は一般に摂氏０度で凍るが、食品にはそれぞれ独自に凍り始める温度＝氷結点があるという。この０度から氷結点までの間を氷温域といって、食品をこの氷温域に一定期間置けば、単に長く貯蔵できるというだけではなく、熟成効果が得られることが明らかになってきた。つまり、食品のうまみが増す。それを「氷温熟成」という。もともと氷温技術は鳥取県で発達した。特産品の二十世紀梨のおいしさを失わずに貯蔵する技術として考案されたが、次第に氷温貯蔵によって食品のうまみが増すことに注目が集まった。

日本の食文化には、昔から「寒ざらし」「寒干し」「寒仕込み」という食品加工技術があった。これが氷温熟成の原点と考えられる。食品にストレスを加えることで、食品自体が凍るまいと頑張ることでうまみが増すという説も。以来４０年近い研究を重ね、魚から果物、米など、いまや５００品目を超える「氷温食品」が開発されている。１９８５年に設立された社団法人氷温協会（鳥取県米子市）が外部専門家による安全性審査などを経て認定したものだ。

【キーコーヒー、密封方法と容器を開発】キーコーヒーでも長年、この氷温熟成の研究を続け、このほど新商品「氷温熟成珈琲」を発売した。さらに、独自のうまみと香りをお客にそのまま届けるために、アロマフラッシュという密封方法と容器も開発した。ひきたての香りを閉じこめるためにコーヒー生豆を焙煎後、即時に粉砕して容器に詰め、窒素で加圧・封入する技術だ。容器の内ぶたは与圧でドーム状にふくらんでいる。そこにオープナーをセットして強く押し込めば、缶ビールを開けるときのようなプシュッという音がして、ひきたての香りが周囲に漂う。同社マーケティング本部開発研究所・宗威史所長は、「２０年研究してきましたが、しばらく長期保存という観点で足踏みしました。熟成という観点では、最も適正な氷温貯蔵期間を探り当てるまでが大変でした」という。キーコーヒーの「氷温熟成珈琲」も協会認定を受けている。・・・」

ニコ中からは...抜け出せたかもしれない...^^

吸うよりも...燻(くゆ)らしてる方が多くなったもん...^^;

菅政権も...淀んでますねぇ...^^;;...五里霧中...迷走=迷総...

右手が痛むから...わたしの右手だとわかるんだけど...

痛みを感じなくなったら、楽だけど...傷だらけになっても気づけなくなってしまうのよね...

4389：不等式...

問題4389・・・Junko先生のサイト  http://www.junko-k.com/collo/collo271.htm#1947  にて数学マニアさん提示問 Orz〜

http://www.junko-k.com/cgazou16/collo1949.gif

またこのような、式が、他にあれば、教えてください。

解答

ライブ問です...

考えてみようかな...^^

4388：ベルヌーイの不等式...

問題4388・・・水野先生のサイト  http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html  より Orz〜

問題１
ベルヌーイの不等式　ｔ^ｎ−ｎｔ＋（ｎ−１）≧０
ただし、ｔ＞０　，ｎは２以上の自然数とする。これを証明せよ。

問題２
ｎを自然数とするとき、２^２ｎ＋６ｎ−１が９で割りきれることを証明せよ。
ただし、数学的帰納法を用いないでください。

問題３
ｎを自然数とするとき、５^ｎ＋ａｎ＋ｂが１６で割りきれるような16以下の自然数ａ，ｂを求めよ。
【出展：1997年一橋大学の入試問題】

問題４
体積が２πの直円柱の中で表面積が最小となる直円柱の底面と半径を求めよ。
【出展：2001年東京女子医科大学の入試問題】
解法として、微分を使った方法、相加平均・相乗平均の利用があります。そして、他の方法でも考えてください。 

解答

上記サイトより Orz〜

・わたしの

問題１： ベルヌーイの不等式　ｔ^ｎ−ｎｔ＋（ｎ−１）≧０

                 ただし、ｔ＞０　，ｎは２以上の自然数とする。

                 これを証明せよ。

y=t^n の(1,1) を通る接線は...y-1=n(t-1)

二つのグラフを比べると...

y=t^n ≧ y=n(t-1)+1 であり...

つまりは...

t^n-nt+(n-1)≧0

であることがわかる♪

問題２：ｎを自然数とするとき、２^２ｎ＋６ｎ−１が９で割りきれることを証明せよ。ただし、数学的帰納法を用いないでください。

2^(2n)+6n-1=(3-1)^(2n)+6n-1

                    =(9-6+1)^n+6n-1

                    =(9の倍数+nC1*(-6)+1)+6n-1

                    =9の倍数

問題３：ｎを自然数とするとき、５^ｎ＋ａｎ＋ｂが１６で割りきれるような16以下の自然数ａ，ｂを求めよ。【出展：1997年一橋大学の入試問題】

5^n+an+b=(4+1)^n+an+b

                =16の倍数+nC1*4+1+an+b

                =16の倍数+(4+a)*n+b+1

      a=12

      b=15

     なら...常に可能

     n=1 のときも...5+12+15=32 でOK

問題４： 体積が２πの直円柱の中で表面積が最小となる直円柱の底面と半径を求めよ。【出展：2001年東京女子医科大学の入試問題】

解法として、微分を使った方法、相加平均・相乗平均の利用があります。そして、他の方法でも考えてください。

π*r^2*h=2π

r^2*h=2

2πr*h+2π*r^2

つまり...rh+r^2=2/r+r^2 の最小値

相加相乗から...1/r+1/r+r^2≧3(r2/r^2)^(1/3)=3

1/r=r^2...r=1

半径1、高さ2

ベルヌーイの定理をどう使うんだろ...^^;...?

・uchinyanさんのもの Orz〜

*(一部だけです...^^;...Orz~)

問題１：

一般に，k を自然数として，

t^k - 1 = (t - 1)(t^(k-1) + t^(k-2) + ... + t + 1)

t > 0 の場合には，

t^k - 1 = (t - 1) * (正数)

そこで，

t^n - nt + (n - 1)

= (t^n - 1) - n(t - 1)

= (t - 1)((t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t + 1) - n)

ここで，n = 1 ならば，明らかに = 0 となって成立し，n >= 2 の場合は，

= (t - 1)((t^(n-1) - 1) + (t^(n-2) - 1) + ... + (t - 1) + (1 - 1))

= (t - 1)((t - 1) * (正数) + (t - 1) * (正数) + ... + (t - 1) * (正数))

= (t - 1)^2 * (正数) >= 0

以上より，

t^n - nt + (n - 1) >= 0

ただし，等号は n = 1 又は t = 1 です。

(別解1)

同じようなものですが，この方が自然かな。

T = t^n - nt + (n - 1)

= (t^n - 1) - n(t - 1)

= (t - 1)((t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t + 1) - n)

ここで，n = 1 ならば，明らかに T = 0 となって成立。

n >= 2 の場合は，

t > 1 のときは，t^(n-1) > t^(n-2) > ... > t > 1 より，

t - 1 > 0，(t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t + 1) - n > n - n = 0，T > 0 で成立

t = 1 のときは，明らかに T = 0 となって成立

1 > t > 0 のときは，0 < t^(n-1) < t^(n-2) < ... < t < 1 より，

t - 1 < 0，(t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t + 1) - n < n - n = 0，T > 0 で成立

以上より，

t^n - nt + (n - 1) >= 0

ただし，等号は n = 1 又は t = 1 です。

問題２：

2^(2n) + 6n - 1 = (4^n - 4n + (n - 1)) + 9n

9n は 9 の倍数です。また，4^n - 4n + (n - 1) はベルヌーイの不等式より正で自然数です。

ここで，一般に，k を自然数として，

4^k - 1 = (4 - 1)(4^(k-1) + 4^(k-2) + ... + 4 + 1) = 3(4^(k-1) + 4^(k-2) + ... + 4 + 1)

= 3 の倍数

なので，

4^n - 4n + (n - 1) = (4^n - 1) - 3n

= 3((4^(n-1) + 4^(n-2) + ... + 4 + 1) - n)

= 3((4^(n-1) - 1) + (4^(n-2) - 1) + ... + (4 - 1) + 0)

= 3((3 の倍数) + (3 の倍数) + ... + (3 の倍数) + (3 の倍数))

= 9 の倍数

そこで，2^(2n) + 6n - 1 は 9 の倍数になります。

(別解)

二項定理を使った別解です。

2^(2n) + 6n - 1 = (4^n - 3n - 1) + 9n

= ((3 + 1)^n - 3n - 1) + 9n

= (Σ[k=0,n]{nCk * 3^k} - 3n - 1) + 9n

= Σ[k=2,n]{nCk * 3^k} + 9n

= 9 * (Σ[k=2,n]{nCk * 3^(k-2)} + n)

= 9 の倍数　(n = 1 の場合は Σ の部分は 0)

そこで，2^(2n) + 6n - 1 は 9 の倍数になります。

問題３：

5^n + an + b = (5^n - 5n + (n - 1)) + ((a + 4)n + (b + 1))

5^n - 5n + (n - 1) はベルヌーイの不等式より正で自然数です。

ここで，一般に，k を自然数として，

5^k - 1 = (5 - 1)(5^(k-1) + 5^(k-2) + ... + 5 + 1) = 4(5^(k-1) + 5^(k-2) + ... + 5 + 1)

= 4 の倍数

なので，

5^n - 5n + (n - 1) = (5^n - 1) - 4n

= 4((5^(k-1) + 5^(k-2) + ... + 5 + 1) - n)

= 4((5^(n-1) - 1) + (5^(n-2) - 1) + ... + (5 - 1) + 0)

= 4((4 の倍数) + (4 の倍数) + ... + (4 の倍数) + (4 の倍数))

= 16 の倍数

となって，(a + 4)n + (b + 1) がすべての n に対して 16 の倍数になればいいです。

これは，a，b が 16 以下の自然数では，

n が 16 の倍数のときに b + 1 が 16 の倍数なので b = 15 に確定で，

このとき，(a + 4)n がすべての n で 16 の倍数なので a + 4 が 16 の倍数で a = 12 です。

つまり，a = 12，b = 15 になります。

(別解)

二項定理を使った別解です。

5^n + an + b = (5^n - 4n - 1) + ((a + 4)n + (b + 1))

= ((4 + 1)^n - 4n - 1) + ((a + 4)n + (b + 1))

= (Σ[k=0,n]{nCk * 4^k} - 4n - 1) + ((a + 4)n + (b + 1))

= Σ[k=2,n]{nCk * 4^k} + ((a + 4)n + (b + 1))

= 16 * Σ[k=2,n]{nCk * 4^(k-2)} + ((a + 4)n + (b + 1))

= 16 の倍数 + ((a + 4)n + (b + 1))　(n = 1 の場合は Σ の部分は 0)

となって，(a + 4)n + (b + 1) がすべての n に対して 16 の倍数になればいいです。

後は同じです。

問題４：

直円柱の底面の半径を r，高さを h とすると，r > 0，h > 0 で，

体積 = πr^2 * h = 2π，h = 2/r^2

表面積 = πr^2 * 2 + 2πr * h = 2π(r^2 + rh) = 2π(r^2 + 2/r)

= 2π(r^3 + 2)/r = 2π((r^3 - 3r + (3 - 1)) + 3r)/r = 2π(r^3 - 3r + (3 - 1))/r + 6π

ここで，ベルヌーイの不等式より，

r^3 - 3r + (3 - 1) >= 0，等号は r = 1

なので，

表面積 >= 2π(0)/r + 6π = 6π

等号は，r = 1，h = 2，で成立します。

そこで，表面積の最小は，底面の半径 = 1，高さ = 2 のときで，6π になります。

*なるほど!! ベルヌーイの不等式の形が現れるんだぁ ^^v 

4387：等差数列...初項は？...

問題4387・・・算チャレ掲示板にてあみーさん提示問 Orz〜

100個の和が72で、そのうち５の倍数番目の和が15のときの、１番目は？

解答

・わたしの

15+(15-20*b)+(15-20*2b)+(15-20*3b)+(15-20*4b)=72

15*5-72=200b

b=3/200

(a+a+99b)*100=72*2

2a=144/100-99*3/200=(288-287)/200=1/200

a=1/400

でいいかな...^^

*掲示板では...-9/400 になってるので...悩んでたら...計算間違いに気付きましたぁ...^^;;

2a=(288-297)/200=-9/200

a=-9/400

♪

Orz~