アットランダム≒ブリコラージュ

4394：得点数...

問題4394・・・浮浪の館  http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・なかさんのもの Orz〜

得点７０〜７９、言い換えれば失点２１〜３０点を作れるかという問題
Ｂ型（４点）とＣ型（８点）の組み合わせで、４の倍数にはことかかない
一方、４で割った余りはＡ型（９点）で決まるので、

４で割り切れる数　　　０以上ＯＫ
４で割って１余る数　　９以上ＯＫ
４で割って２余る数　１８以上ＯＫ
４で割って３余る数　２７以上ＯＫ

すると、２１〜３０でカバーできなかったのは、
４で割って３余る２７未満の数、つまり２３失点のみ（７７得点）

*そっか...100-7◯で考えても同じでしたのね...!!

 72=28 がわからなかったけど...28=3*8+4

 上から行くと...1,2,3,5,6,7,10,11,14,15,19,23が無理=99,98,97,95,94,93,90,89,86,85,81,77が無理

4393：桁数とその数字...

問題4393・・・Junko先生のサイト よりyokodonさん掲示問  http://www.junko-k.com/collo/collo139.htm  Orz〜

10²¹⁰/(10¹⁰ + 3) の整数部分の桁数と１の位の数字を求めよ。
但し、3²¹ ＝ 10460353203 であることを用いて良い。

*どこかの入試問題だそうです...^^;...

解答

よくわからず...^^;

上記サイトより Orz〜

・Junko先生のもの Orz〜

a=10²¹⁰/(10¹⁰ + 3)とします。

log10a	＝log10(10210/1010 + 3)
	＜log10(10210/1010)
	＝log1010200
	＝200

一方、3²¹=10460353203　より、10¹⁰+3＜3²¹　従って、

log10a	＝log10(10210/1010 + 3)
	＞log10(10210/321)
	＝log10(1010/3)21
	＝21(10-log103)
	＞21(10-0.5)
	＝199.5
	＞199

これにより、199＜log₁₀a＜200　なので、
10¹⁹⁹＜a＜10²⁰⁰　であり、従ってaの整数部分は２００桁。 

* 上手いものね♪...熟読玩味〜^^

3^2 < 10...2 log 3 < 1...log 3 < 0.5 なので...

21(10-log103) ＞21(10-0.5)

になるのよね ^^

桁数がわかったところで後半、１の位の数を求めます。

a=10²¹⁰/(10¹⁰ + 3)とします。
この数は200桁なので、10²⁰⁰でわれば、0.1以上１未満の数になります。

0.□□□・・・□・・・・・

その状態で小数第２００位の数を求めればいいわけです。

http://www.junko-k.com/cgazou6/collo1193-1.gif

この変形は、

　　　http://www.junko-k.com/cgazou6/collo1193-2.gif　　（|x|＜１）
において、http://www.junko-k.com/cgazou6/collo1193-3.gif　としたものです。

問題の小数第２００位ですが、

http://www.junko-k.com/cgazou6/collo1193-4.gifのあたりを見ていけばいいと思います。
まず、(3/10¹⁰)²⁰ですが、3²⁰の末尾は１になります。
従って、(3/10¹⁰)²⁰だけを考えれば小数第２００位の数は１です。
しかし、-(3/10¹⁰)²¹で若干引かれてしまうので、 小数第２００位の数は「０」と結論しましたが・・・。 

・yokodonさんのコメ Orz〜

3²¹ の桁数（11桁）と１の位を用いて、 x²¹ と x²⁰ のあたりから、ちょうどこの辺で１の位の評価が出来るというわけで、正解は９です （∵ 3²¹/10¹⁰ ＞1）。

・Junko先生のもの Orz〜

なるほど若干だと思ったらとんでもないのですね。
問題の仮定　3²¹=10460353203　がここで生きてくるとは・・・！

小数第２００位あたりの様子を書いてみました。

小数位 ・・・ 199 200 201 202 ・・・ (3/10¹⁰)²⁰ (3/10¹⁰)²¹ a/10²⁰⁰

+	・・・	1	0	0	・・・
-	0	1	0	4	・・・
+	・・・	9	・・・	・・・	・・・

というわけで答えは「９」 

*熟読玩味〜^^;...

4392：先頭の数字...2^2011...

問題4392・・・みっちの隠れ家  http://micci.sansu.org/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

よく見る問題だけど...パズルみたい♪

細心の注意を払って...^^;v

4391：△...対辺の長さ...

問題4391・・・みっちの隠れ家  http://micci.sansu.org/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

4390：関数...条件を満たす...

問題4390・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26086588.htm  より Orz〜

a，b，c を係数とする関数 y＝ax²＋bx＋c が、y＝xy'−(y')² を満たし、
x＝2 のとき y＝1 ならば、x＝3 のとき y＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26189249.html  より Orz〜

　y＝ax²＋bx＋c，y'＝2ax＋b だから、y＝xy'−(y')² に代入して、
ax²＋bx＋c＝x(2ax＋b)−(2ax＋b)²、
ax²＋bx＋c＝2ax²＋bx−4a²x²−4abx−b²、
よって、a＝2a−4a²， b＝b−4ab， c＝−b²、
a＝0，1/4、 a＝0 のとき、bは任意，c＝−b²、a＝1/4 のとき b＝c＝0、
すなわち、y＝bx−b²， y＝(1/4)x² になります。
y＝bx−b² が、x＝2 のとき y＝1 になるのは b＝1 のときで、y＝x−1 、
y＝(1/4)x² は、x＝2 のとき y＝1 になります。
従って、x＝3 のとき y＝2，9/4 です。


[参考]

y" の存在を仮定し、y＝xy'−(y')² の両辺を微分すると、
y'＝y'＋xy"−2y'y"、y"(x−2y')＝0、従って、y"＝0 または y'＝(1/2)x です。
y"＝0 のとき y'＝b(定数) と表せ、y＝xy'−(y')² より y＝bx−b² 、
y'＝(1/2)x のとき y＝xy'−(y')²＝(1/4)x² になります。

　ところで、(1/4)x²＝bx−b² を解くと、x＝2b という重解をもちますので、
y＝(1/4)x² と y＝bx−b² は、(2b，b²)で接します。

本問で、y＝ax²＋bx＋c とした理由は、
x＜2b のとき y＝(1/4)x² ，2b≦x のとき y＝bx−b² のように、
放物線とその接線を繋いだグラフをもつような関数も、y＝xy'−(y')² を満たすので、
それを避けたものです。

　この繋ぎ目の 2b が、2＜2b＜3 のときは、x＝3 のときの y の値は 2 または 9/4 とはいえません。

*後半は難しい話になるんだなぁ...^^;...

ちなみに...

＊a=0 のとき...y'=b...bx+c=b(x-b)...c=-b^2
1=2b-b^2...b=1
y(3)=3-1=2

＊aが0でないとき...
y'=2ax+b
y=y'(x-y')
y=(2ax+b)(x/2+b/4a)=(2ax+b)((1-2a)x-b)
ax^2+bx+b^2/4a=2a(1-2a)x^2+(1-4a)bx-b^2
b=0
a=2a(1-2a)
1/2=(1-2a)...1=2-4a...a=1/4
1=(4a+b)(1+b/4a)=4a+2b+b^2/4a=4a+2b+c=1
y(3)=3^2/4=9/4
けっきょく...
2 or 9/4