[解答1]
ベクトルを太字で表すことにします。
内分点の公式により、P(6/5，−9/5，2)，R(−4/3，2，5/3) で、
平面BPRの方程式は、115x＋55y−247z＋455＝0 になります。
Q が AD を k：(1−k) に内分する点とすれば、Q(3k，2k，5−5k) だから、平面の方程式に代入し、
345k＋110k−1235＋1235k＋455＝0 、k＝6/13 、Q(18/13，12/13，35/13) になります。
BQ＝(57/13，38/13，35/13)＝(57，38，35)/13 ，RP＝(38/15，−19/5，1/3)＝(38，−57，5)/15 、
四角形BPRQ＝(1/2)√{|BQ|2|RP|2−(BQ･RP)2}＝(1/2)√{(5918/132)(4718/152)−1752/(132･152)}
＝{1/(2･13･15)}√(5918･4718−1752)＝(√27890499)/390＝(19√77259)/390 です。
四角形BPRQを底面としたときの高さは、A(0，0，5) と 平面BPR：115x＋55y−247z＋455＝0 の距離で、
ヘッセの公式により、780/√77259 になります。
求める体積は (1/3){(19√77259)/390}(780/√77259)＝38/3 です。
[解答2]
ベクトルを太字で表すことにします。
もとの正四角錐は、底面の１辺が √26 で、高さが 5 だから、その体積は 26･5/3＝130/3 です。
AQ＝kAD ，四角錐A-BPQR の体積をV とおいておきます。
CD＝BE だから AD−AC＝AE−AB 、AD＝AC＋AE−AB です。
BQ＝sBP＋tBR とおくと、AQ−AB＝s(AP−AB)＋t(AR−AB) 、AQ−AB＝sAP＋tAR−(s＋t)AB 、
k(AC＋AE−AB)−AB＝(3/5)sAC＋(2/3)tAE−(s＋t)AB となって、
AC，AE，−AB は一次独立だから、 k＝3s/5 ，k＝2t/3 ，k＋1＝s＋t 、
5k/3＝s ，3k/2＝t 、k＋1＝5k/3＋3k/2 、k＝6/13 になります。
平面ACEで切断すると、
三角錐ABPR＝(AP/AC)(AR/AE)(三角錐ABCE)＝(3/5)(2/3)(65/3)＝26/3 、
三角錐APQR＝(AP/AC)(AQ/AD)(AR/AE)(三角錐ACDE)＝(3/5)(6/13)(2/3)(65/3)＝4 、
よって、V＝26/3＋4＝38/3 になります。
[解答3]
もとの正四角錐は、底面の１辺が √26 で、高さが 5 だから、その体積は 26･5/3＝130/3 です。
AQ/AD＝k ，四角錐A-BPQR の体積をV とおいておきます。
まず、平面ABDで切断すると、
三角錐ABPQ＝(AP/AC)(AQ/AD)(三角錐ABCD)＝(3/5)k･(65/3)＝13k 、
三角錐ABQR＝(AR/AE)(AQ/AD)(三角錐ABDE)＝(2/3)k･(65/3)＝130k/9 、
よって、V＝13k＋130k/9＝247k/9 になります。
次に、平面ACEで切断すると、
三角錐ABPR＝(AP/AC)(AR/AE)(三角錐ABCE)＝(3/5)(2/3)(65/3)＝26/3 、
三角錐APQR＝(AP/AC)(AQ/AD)(AR/AE)(三角錐ACDE)＝(3/5)k･(2/3)(65/3)＝26k/3 、
よって、V＝26/3＋26k/3 になります。
247k/9＝26/3＋26k/3 だから、247k＝78＋78k 、k＝6/13 となって、
V＝26/3＋26k/3＝26/3＋26･6/(3･13)＝38/3 です。
[参考]
AP＝pAC，AR＝rAC として、[解答2][解答3]のようにして計算すれば、AQ＝{pr/(p＋r−pr)}AD で、
求める体積は、もとの四角錐の体積の pr(p＋r)/{2(p＋r−pr)} 倍になります。
これは、もとの四角錐の底面が平行四辺形であれば成り立ちます。
・uch*n*anさんのもの Orz〜
この問題は見かけは数学ですが算数で解ける問題です。そこで，私は算数解法を目指しました。私の解法は二つ。まず平面ACEでの断面を考え，次に平面ABDでの断面を考えるものです。
(解法1)は，メネラウスの定理を使う解法。
メネラウスの定理自体は算数からはみ出しているかも，ですが，適宜，補助線を引いたり面積比に持ち込んだりして回避できるので，簡便のために使いました。
(解法2)は，角の二等分線の定理を使う解法。さらに，簡単な一次方程式を使うかどうかで二通り。
ここでは，(解法1)，(解法2)の両方を，ご参考までに書いておきましょう。
なお，[参考]の一般化は，(解法1)の方で比較的容易に出せるようです。
(解法1)
まず，O(0,0,0) とします。また，傾きや辺の長さなどから，
□BCDE は面積 (3 + 3) * (3 + 3) - (3 + 2) * (3 - 2) * 1/2 * 4 = 26 の正方形になります。
次に，△ACE を含む断面を考えます。AO と PR の交点を S とします。
もちろん，S は B，P，R を通る平面上の点で，対称性より，AO と BQ の交点にもなっています。
CE の延長と PR の延長との交点を T とします。
メネラウスの定理より，
CP/PA * AR/RE * ET/TC = 1，2/3 * 2/1 * ET/TC = 1，ET/TC = 3/4。
そこで，CO：OE = 1：1 なので，CO：OT = 1：7，OT/TC = 7/8 になって，
メネラウスの定理より，
AS/SO * OT/TC * CP/PA = 1，AS/SO * 7/8 * 2/3 = 1，AS/SO = 12/7。
さらに，△ABD を含む断面で考えると，BO：OD = 1：1 なので，
メネラウスの定理より，
AS/SO * OB/BD * DQ/QA = 1，12/7 * 1/2 * DQ/QA = 1，DQ/QA = 7/6。
つまり，AQ：QD = 6：7 になります。これらのことから，
四角錐A-BPQR = 三角錐A-BPR + 三角錐A-QPR
= 三角錐A-BCE * AB/AB * AP/AC * AR/AE + 三角錐A-DCE * AQ/AD * AP/AC * AR/AE
= 四角錐A-BCDE * 1/2 * 3/5 * 2/3 * (1 + 6/13) = 26 * 5 * 1/3 * 1/5 * 19/13 = 38/3
になります。
(解法2)
S を取るまでは(解法1)と同じ。
各点から xy 平面に下ろした垂線の足を「'」を付けて表すことにします。A'= S'= O です。
∠OAC = ∠OAE より，PS：RS = AP：AR = (3/5)：(2/3) = 9：10，相似を使って，
SO = SS' = RR' + (PP' - RR') * RS/(RS + PS) = 5/3 + (2 - 5/3) * 10/19 = 35/19
さらに，△ABD を含む断面で，O から BQ に平行に線を引いて AD との交点を F として，
AS：SO = (5 - 35/19)：(35/19) = 12：7，AQ：QF：FD = 12：7：7，AQ：AD = 12：26 = 6：13
後は，(解法1)と同じです。
*ベクトルの使い方お忘れ遊ばれてしまったぁ...^^;...Orz...
わたしゃ...ひたすら比例計算で...といっても...(2回切断面で考えればいいのだけれど)...
PRの中点は相似を使って求め...12:7
つまり...AQ：QD=12:14=6:7 に分割されてるから
(130/３）を面AECで半分にして考えた...
四角錐の体積=(√52)^2/*(1/2)*5*(1/3)=130/3
(2/3)*(3/5)+((2/3)*(3/5)*(6/13)=38/65
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