アットランダム≒ブリコラージュ

4890：仮分数...

問題4890・・・Since 2008 さんのサイト  http://sprine.exblog.jp/17409895/  より Orz〜

解答

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上手いもんだい!! ^^;v

4889：立体魔方陣...

問題4889・・・Since 2008 さんのサイト http://sprine.exblog.jp/17409222/  より Orz〜

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4888：将棋盤(nxn)の飛車の動かし方...

問題4888(友人問)

n×nの将棋盤がある。ここでは、飛車はその盤上で右または上に好きなだけ進むことが出来る。

このとき、飛車を1の1からnのnまで進める動かし方は9^n通り以下であることを示せ。

（方向を変えるとき以外でも止めてよい）

解答

・わたしの

これは簡単じゃん...?

各点で飛車の動きは上か右にしか行けない...2通り

点はすべてで...上n個と右n個で合計2n個の点を通る...

つまり...2^(2n) < 3^(2n)=9^n

以下じゃなくって...それよりもずっと少ないはず...^^;...?

再考...2012.02.25

2n個の中でスタートとゴール以外の場所で停まる場合も別の動かし方とすると...

上・右それぞれ n個のうちで...1~(n-1)回停まれるので...

(x+x^2+x^3+...+x^(n-1))^(n-1) から...重複を許してx^(n-1) になるとき...

(x+x^2+x^3+...+x^(n-1))^(-1)n を展開して x^(n-1) の係数を求める

同様に...

(y+y^2+y^3+...+y^(n-1))^(n-1) を展開して y^(n-1) の係数を求める

それらの積の２倍でいいはず...?

求め方がまだよくわからない...

再考...2012/02.26

よく考えたら...上、右へのそれぞれ(スタートとゴールを除いた)n-2の点で上/右/停まるの3種類選べる...(3^(n-2))^2...スタート時は2通り...ゴールは1通り

けっきょく...

2*(3^(n-2))^2=2*9^(n-2) < 9^n

でいいのかな...?

・友人からのもの

解法1...

飛車の通り道の各マス目(始点、終点を含めない2n-3個のマス目)における飛車の動き方は次の3通りしかない。

1) 止まらず通過する

2) 止まって右に行く

3) 止まって上に行く

したがって、始点において右に行くのか上に行くのかの2通りあることに注意すると、

2*3^(2n-3) ( < 9^n )通りである。

解法2...

飛車を1の1から kの l まで進める動かし方の個数を f(k,l) とおく。飛車の最後の移動の仕方のよって場合分けをすると、

f(k,l)=f(k,l-1)+...+f(k,l)+f(k-1,l)+...+f(1,l)　・・・(1)

ただし、f(1,l)=1, f(0,＊)=f(＊,0)=0

任意の k,l に対し

f(k,l) ≦ 3^(k+1)・・・(2)

であることを示せば、f(n,n) ≦ 3^(2n) = 9^n となり題意は示される。

k+l による帰納法で示す。

k+l=2 のとき明らかに成り立つ。

k+l < m のとき常に(2) が成り立つとすると、k+l=m のとき (1) 式より

f(k,l) ≦ 2*(3^(m-1)+...+1) = 2*3^(m-1)/(3-1) < 3^m = 3^(k+1)

よって任意の m について (2) が成立。

解法3...

最初、飛車を右に動かしたときの場合の数を2倍する。

(i) 飛車が上に k+1 回、右に k 回向きを変えるとき

いつ向きを変えるかを上と右でわけて考えると、向きを変える場所の取り方は ((n-2)Ck)^2 通りある。向きを変えないでマス目で止まるかどうかも考えると ((n-2)Ck*2^(n-2-k))^2 通りである。

(ii) 飛車が上に k 回、右に k 回向きを変えるとき

(i) と同様に考えて

(n-2)Ck*2^(n-2-k) x (n-2)C*2^(n-2-(k-1))

したがって、求める場合の数は

S(n)=2Σ[0~(n-2)] ((n-2)Ck*2^(n-2-k))^2+2Σ[1~(n-2)] ((n-2)Ck*2^(n-2-k) * (n-2)C(n-1)*2^(n-2-k+1)

≦ 2(Σ [0~(n-2)] ((n-2)Ck*2^(n-2-m))^2　　(展開して比較)

= 2*{(1+2)^(n-2)}^2 ≦ 9^n

解3より...

S(n) > Σ[0~(n-2)] ((n-2)Ck*2^k)^2 ≧ (1/(n-1))*(Σ[0~(n-2)] (n-2)Ck*2^k)^2 = (1/81)*(9^n/(n-1)

(コーシーシュワルツの不等式)

より、S(n) ≦ a^n を満たす最小の a は 9 である。 

歌初め...^^...?

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/ハインリヒ・ヘルツ より

「ハインリヒ・ルドルフ・ヘルツ（Heinrich Rudolf Hertz, 1857年2月22日 - 1894年1月1日）は、ドイツの物理学者。マックスウェルの電磁気理論をさらに明確化し発展させた。1888年に電磁波の放射の存在を、それを生成・検出する機械の構築によって初めて実証した。」

*今日はその彼の生誕２００年の日らしい...Google検索の図柄がこれだったものでしりましたぁ ^^↓

最近来られた患者さんが歌を詠んでくださった♪

・ピロリ菌　結果待ちて異常なし

　医師いわく　まれであると

*慢性胃炎の原因はこのピロリ菌であり高齢者ほど下水道不備なる環境で育って来られたわけで多いんだけど...この方は奇麗だったんだけど...潰瘍があったから検査したんだったっけ...?...主治医はすでに忘れた...

わたしの得意技あるね...Orz...

・乙女心思わす紫陽花七変化

　一日(ひとひ)降りしく　雨に華やぐ

*これ素敵な歌ね♡

画像：http://www.asahi.com/science/update/0221/TKY201202210481.html より Orz〜

３万年前のナデシコ咲いた　ロシア、永久凍土から種発掘

「３万年前の氷河期に自生していたナデシコ科の花を咲かせることに、ロシアのチームが成功した。シベリアの永久凍土に埋まっていた植物の化石の一部を培養して育てた。古代から現代によみがえらせた最古の植物になるという。化石は、地下３８メートルに埋まっていた。氷河期のリスがエサをためていた巣穴から見つかった。状態が良い化石を選んで、めしべの組織の一部を採取、培養して育てたところ、１年後に白い花が咲いた。」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

*人を喜ばすために美しく咲いてるんじゃなさそうね...機能的な形であり色なんだと思うなぁ...どういう風にこんな色形になったのかさへ人間は知りゃしないまま...^^;...