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xy平面上で、ｘ座標もｙ座標も整数である点を格子点といいます。 aを実定数として、
領域 0≦y≦−x2＋a に格子点が 403個あるとき、領域 0＜y＜−x2＋a に格子点は何個？ 解答
領域 0≦y≦−x2＋a に格子点の個数を f(a) とします。 明らかに、a＜0 のとき f(a)＝0 ，f(0)＝1 で、 左上図と左下図の水色と紫の点のように、f(a)＝f([a]) になります。 また、a＜a' のとき 0≦y≦−x2＋a ならば 0≦y≦−x2＋a' だから、f(a)≦f(a') です。 つまり、関数 f(a) は広義単調増加になります。 次に、左上図と左下図の水色の点は 領域 0＜y＜−x2＋a の格子点で、 その個数は、右図と比べることにより、 ａが自然数以外の正の数のとき f([a]−1) 個、 ａが自然数のとき f(a−2) 個です。 f(a) の値については、 −[√a]≦x≦[√a]，0≦y≦[a] にある格子点は全部で、(2[√a]＋1)([a]＋1) 個のうち、 適さないものは、k＝1，2，……，[√a] として、x＝±k のとき、k2 個ずつで、 [√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 個です。 よって、f(a)＝(2[√a]＋1)([a]＋1)−[√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 になります。 ここで、領域の面積は、(√a＋√a)3/6＝4a3/2/3 だから、 f(a)≒4a3/2/3 として、4a3/2/3≒403 、a≒(1209/4)2/3≒45 、 f(45)＝(2･6＋1){3･45＋3−6(6＋1)}/3＝416 、f(44)＝(2･6＋1){3･44＋3−6(6＋1)}/3＝403 だから、 f(a)＝403 となるのは、44≦a＜45 です。 領域 0＜y＜−x2＋a に格子点の個数は、 44＜a＜45 のとき f(43)＝(2･6＋1)(43＋1)−6(6＋1)(2･6＋1)/3＝390 、 a＝44 のとき f(42)＝(2･6＋1)(42＋1)−6(6＋1)(2･6＋1)/3＝377 です。 もちろん、次のようにしても求められます。 44＜a＜45 のとき (k，0) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 403−13＝390 個、 a＝44 のとき 更に (k，−k2＋44) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 390−13＝377 個。 *面白い問題でしたぁ♪
最初...
a=44
45+2*6+44*12-2*6*7*13/6=403...ビンゴ♪ a=45 46+2*6+45*12-182=416 つまり... (2*6)*2+1+1=26 403-26=377...? 格子点のカウントの仕方が違うんだろうか...^^; a を整数として... (a+1)+2|√a|+2*{Σ[1〜|√a|] (a-x^2)} で考えたんだけど... そっか...45<a<46 の時もいいのでしたぁ...!!
そのときは... 403-(2*6+1)=390 ♪ けっきょく... 377 or 390 ですね...^^ |
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コメント（2）
