アットランダム≒ブリコラージュ

オレンジピール/ OGGI...

同僚のお土産♪

激ウマ🌸

チョコ好きのわたしにはサプライズな、スーパーなお味 ☆☆☆

空港で買ったって言ってた...Orz...

わたしゃ...お洒落なこいつを買いたい衝動に駆られるも...何せ飛行機恐怖症なもので...^^;;;

よっぽどでなきゃ乗らない...

むかし、羽田でしか買えないっていうおいしいふんわりチーズあったの思い出したぁ🌸

ヒットするかも...?

画像：http://www.nitenichiryu.org/archives/2006/04/08/0015.php より Orz〜

2006年04月08日

iPod自販機

[ Apple ]

サンフランシスコ国際空港とサンフランシスコ　ARGENT HOTEL、そしてハーツフィールドアトランタ空港に設置されているという

とにかく、健康、長生き思考にみんな囚われてる...^^;

で...思ったんだけど...すでに既出かもしれないけど...?

自販機で...健康にいいものグッズすべて網羅したもの...

たとえば...トマト１００％ジュース、カプサイシン入り、レベストロール入りドリンク、ザクロジュース、...トリ皮焼き、チリメンジャコ(塩抜き)、...エビオス、チョコレート、ココア、...etc...

それらすべてが買えちゃう自販機の設置!!

病院内、コンビニ内、スーパー内、...にそんなコーナー作るか、自販機置いちゃう ^^

長生きできまっせ!!...メタボ退治!!...お肌ぷるぷる!!...

ってなロゴにみんないちころになって...行列のできる自販機になったりして...♪

待合室にジョギング用円周廊下も作っちゃう!! 

これであなたも老化から解放廊下〜ご利用ご自由!! ってな...^^v

4986：正三角形...内部の点でできる３個の三角形の面積比...

問題4986・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29851502.html  より Orz〜

正三角形ABCがあって、∠BPC＝90ﾟ，∠CPA＝150ﾟ，∠APB＝120ﾟ のとき、
△PBC：△PCA：△PAB (面積比) は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29911573.html  より Orz〜

[解答1] 

余弦定理より、
PB²＋PC²＝PC²＋PA²−2PC･PAcos150ﾟ＝PA²＋PB²−2PA･PBcos120ﾟ 、
PB²＋PC²＝PC²＋PA²＋(√3)PC･PA＝PA²＋PB²＋PA･PB 、
よって、PB²−PA²＝(√3)PC･PA ，PC²＝PA²＋PA･PB 、
(PB²−PA²)²＝3PC²PA²＝3(PA²＋PA･PB)PA² 、
PB⁴−2PA²PB²＋PA⁴＝3PA⁴＋PA³PB 、　
PB⁴−2PA²PB²−3PA³PB−2PA⁴＝0 、
(PB−2PA)(PB＋PA)(PB²＋PA･PB＋PA²)＝0 、
PB＝2PA よって、PC²＝PA²＋PA･PB＝3PA² 、PC＝(√3)PA 、
よって、PA：PB：PC＝1：2：√3 です。

△PBC：△PCA：△PAB＝2△PBC：2△PCA：2△PAB＝2(√3)：(√3)･1sin150ﾟ：1･2sin120ﾟ
＝2√3：(√3)/2：√3＝4：1：2 になります。


[解答2] 

∠BPC＋∠CPA＋∠APB＝360ﾟ だから、Pが平面ABC上にあり、△ABCの内部にあります。 
面積比は正三角形の大きさによらないので、A(−√3，1)，B(√3，1)，C(0，4) とします。

円 x²＋y²＝4 について、劣弧ABの中心角が 120ﾟ だから、円周角は 60ﾟ、
∠APB＝120ﾟ より、Pは劣弧AB上にあることになります。

また、∠BPC＝90ﾟ なので、Pは線分BCを直径とする円周上にあり、この円は、
x(x−√3)＋(y−1)(y−4)＝0 すなわち x²＋y²−(√3)x−5y＋4＝0 です。

　２つの円 x²＋y²＝4 ，x²＋y²−(√3)x−5y＋4＝0 の交点は、
連立方程式を解いて、B(√3，1)，P(−3(√3)/7，13/7) になり、
PA²＝12/7 ，PB²＝48/7 ，PC²＝36/7 だから、　 
PA²：PB²：PC²＝1：4：3 、PA：PB：PC＝1：2：√3 で、
以下、[解答1]と同様です。


[解答3] 

△PBC≡△DBC，△PCA≡△ECA，△PAB≡△FAB となるように、△ABC の外部に点D，E，F をとります。
△AFE∽△BDF∽△CED は頂角が 120ﾟ，底角が 30ﾟ の二等辺三角形になるので、
∠FDE＝30ﾟ，∠DEF＝90ﾟ，∠EFD＝60ﾟ だから、EF：FD：DE＝1：2：√3 です。
PA：PB：PC＝AE：BF：CD＝EF：FD：DE＝1：2：√3 となって、以下、[解答1]と同様です。


☆ ∠BPC＝α，∠CPA＝β，∠APB＝γ のとき、次のようになります。

△PBC：△PCA：△PAB＝sinα/sin(α−60ﾟ)：sinβ/sin(β−60ﾟ)：sinγ/sin(γ−60ﾟ)


[解答4] 再出発さんのコメントより

AB の中点を M とすれば、BC を直径とする円は点M，P を通ります。

∠MPB＝30ﾟ なので ∠MPA＝∠CPB＝90ﾟ また、∠AMP＝∠BCP だから、 △AMP∽△BCP です。
更に、BC＝2AM だから、相似比は 1：2 で、△BCP＝4△AMP になります。
また、PC＝2PM で、∠CPA＝150ﾟ，∠MPA＝90ﾟ だから、
△CPA と △MPA は PA を底辺とすれば、高さが等しくなり、△CPA＝△MPA です。

△PBC：△PCA：△PAB＝4△AMP：△MPA：2△PAM＝4：1：2 です。

・uch*n*anさんのもの Orz〜

これは，いろいろな解法がある楽しい問題でした。
私の解法は三つ＋α。
(解法1)は，算数解法。
(解法2)は，(解法1)を三角関数で簡便化したもので，[解答3]と少し似ています。
(解法3)は，[解答1]とほぼ同じです。
「＋α」のうち，示唆したものは，座標の入れ方が少し違いますが，[解答2]で，
示唆しなかったものは，[解答3]です。[解答3]は(解法2)で十分と思い書きませんでした。
比較も兼ねて，(解法1)，(解法2)を書いておきますね。

(解法1) 算数で
△PBC を B の回りに反時計回りに 60°回転し BC を BA に重ね P の移動先を P' とします。
BC = BA なので移動先の C は A です。また，△BPP' は正三角形で，PP' = PB，
∠AP'P = ∠BP'A - ∠BP'P = 90°- 60°= 30°
∠APP' = ∠APB - ∠BPP' = 120°- 60°= 60°
で，∠P'AP = 90°となり，P'P：AP = 2：1，です。
ここで，A から CP の延長， BP の延長に垂線を下ろし，それらの足を H，I とすると，
∠APH = 30°，∠API = 60°，△P'PA ∽ △PAH ∽ △API です。これより，
BP：AP = P'P：PA = 2：1 = PA：AH，BP：AH = 4：1，CP：AI = AP'：IA = P'P：AP = 2：1
△PBC：△PCA：△PAB = (BP * CP)：(CP * AH)：(BP * AI) 
= (4 * 2)：(2 * 1)：(4 * 1) = 4：1：2
になります。

(解法2) 最初は算数っぽくその後は三角関数
(解法1)の最初と同じようにして，△APP' は辺の比が 1：2：√3 の直角三角形で，
PB：PC：PA = PP'：P'A：PA = 2：√3：1，です。そこで，
△PBC：△PCA：△PAB 
= (PB * PC * sin(90°))：(PC * PA * sin(150°))：(PA * PB * sin(120°)) 
= (2 * √3 * 1)：(√3 * 1 * 1/2)：(1 * 2 * √3/2) = 4：1：2
になります。

・鍵コメ様のもの Orz〜

△ PAB を 点 B 中心、時計回りに 60°回転し、P の移動先を Q とすると、△ PBQ は正三角形、
△ PCQ はその半分の直角三角形です。 よって、BP // QC（ ⊥ PC ）＆ 等積変形から...

(AP ＝ CQ、△ PCA ： △ PCQ ＝ AP ： PQ を組み合わせれば、上の比は 1 ： 2 になります。
3 点 A , P , Q は 一直線上に並んでいますね。)

面積比は △ PBQ ： △ PCA ： △ PCQ ＝ 4 ： 1 ： 2 です。

*そっかなるほど🌸

*わたしのは...再出発さんのと同じようなものですが...一応...^^