アットランダム≒ブリコラージュ

5208：求値...漸化式...

問題5208・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30804178.html  より Orz〜

　a₁＝−26，a_n+1＝2a_n＋n³ (n＝1，2，3，……) で定義される数列{ a_n }について、 a₇₆＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30849101.html  より Orz〜

[解答1]

　a_n+1＝2a_n＋n³ より、
　a_n+1＋(n＋1)³＝2(a_n＋n³)＋3n²＋3n＋1 、
　a_n+1＋(n＋1)³＋3(n＋1)²＝2(a_n＋n³＋3n²)＋9n＋4 、
　a_n+1＋(n＋1)³＋3(n＋1)²＋9(n＋1)＝2(a_n＋n³＋3n²＋9n)＋13 、
　a_n+1＋(n＋1)³＋3(n＋1)²＋9(n＋1)＋13＝2(a_n＋n³＋3n²＋9n＋13) 、
　だから、数列{ a_n＋n³＋3n²＋9n＋13 }は公比 2 の等比数列で、
　a_n＋n³＋3n²＋9n＋13＝(a₁＋1³＋3･1²＋9･1＋13)･2^n-1 、 a_n＋n³＋3n²＋9n＋13＝0 、
　a_n＝−n³−3n²−9n−13 になります。

　従って、a₇₆＝−76³−3･76²−9･76−13＝−457001 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

　a_n+1＝2a_n＋n³，a_n+2−a_n+1＝2(a_n+1−a_n)＋(3n²＋3n＋1)

　b_n＝a_n+1−a_n とおくと，b₁＝a₂−a₁＝a₁＋1＝-25，で，
　b_n+1＝2b_n＋(3n²＋3n＋1)，b₂＝-43，b₃＝-67，
　b_n+2−b_n+1＝2(b_n+1−b_n)＋(6n＋6)

　c_n＝b_n+1−b_n とおくと，c₁＝b₂−b₁＝−18，で，
　c_n+1＝2c_n＋(6n＋6)，c₂＝−24，
　c_n+2−c_n+1＝2(c_n+1−c_n)＋6
　d_n＝c_n+1−c_n とおくと，d₁＝c₂−c₁＝−6，で，
　d_n+1＝2d_n＋6，d_n+1＋6＝2(d_n＋6)， 

　d_n＝2^n-1(d₁＋6)−6＝−6
　　　　　　 _{n-1　　　　　　　 n-1}
　c_n＝c₁＋Σ d_k＝−18＋Σ（−6)＝−18−6(n−1)＝−6n−12
　　　　　　 ^{k=1　　　　　　　 k=1}
　　　　　　 _{n-1　　　　　　　 n-1}
　b_n＝b₁＋Σ c_k＝−25＋Σ（−6k−12)＝−25−3n(n−1)−12(n−1)＝−3n²−9n−13
　　　　　　 ^{k=1　　　　　　　 k=1}
　　　　　　 _{n-1　　　　　　　 n-1}
　a_n＝a₁＋Σ b_k＝−26＋Σ（−3k²−9k−13) 
　　　　　　 ^{k=1　　　　　　　 k=1}
　 ＝−26−n(n−1)(2n−1)/2−9n(n−1)/2−13(n−1)＝−(n³＋3n²＋9n＋13)

　そこで，a₇₆＝−(76³＋3･76²＋9･76＋13)＝−457001，になります。

*よくわからないまま無理矢理...^^;

基本に忠実に...
a(n+1)＝2a(n)＋n^3 
a(n+1)+b(n+1)=2(a(n)+b(n))
b(n)=pn^3+qn^2+rn+s
2b(n)-b(n+1)=2pn^3+2qn^2+2rn+2s-p(n+1)^3-q(n+1)^2-r(n+1)-s
p=1, 2q=3+q...q=3, 2r=3+6+r...r=9, 2s=1+3+9+s...s=13
つまり...
a(n+1)+((n+1)^3+3(n+1)^2+9(+1)n+13)
=2(a(n)+n^3+3n^2+9n+13)
=2^n*(a(1)+1+3+9+13)=2^n*(-26+26)=0
a(76)=-76^3-3*76^2-9*76-13=-457001

ANAインターコンチネンタルホテル東京...☆

ここのグレードも☆☆☆

だいたいこのクラスは似たり寄ったりの雰囲気ね ^^

もう少し広い空間ならより寛げそうだけどね...Orz...

ま、十分ゆったりした滞在できますです♪

品位のある時空のプレゼングラッチェですぅ〜🌸

このお姉様にカードキーがおしゃれできにいたってお話ししてたら...

記念にどうぞってレプリカ？頂いたぁ〜🌸...〜m(_ _)m〜

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