アットランダム≒ブリコラージュ

5309：ランダムウォーク...

問題5309・・・http://tkido.blog43.fc2.com/blog-entry-161.html より拝借 Orz〜

某君が図のような魔の7段階段の5段目にいます。某君は毎回コインを投げて、表が出れば上に一段登り、裏が出れば下に一段下がります。7段目にたどり着けばクリア、生きて帰れます。逆に1段目まで降りてしまったらゲームオーバー、死にます。さて、この某君が生還できる確率は？　もちろんコインの裏表は1/2の確率で等しく出るものとし、階段の途中でやめることはできないものとします。

解答

・わたしの...

上に行くも下に行くも等しい確率だから...

7-5=2

5-1=4

つまり...

生存する確率は...

1/2 : 1/4 = 2 : 1

から...

2/3

もっと納得させられる方法があるのね♪

　↓

・平々毎々さんのもの Orz〜

http://d.hatena.ne.jp/matarillo/20060817#p1 より 引用 Orz〜

http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/m/matarillo/20060817/20060817113536.gif

この状態から

http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/m/matarillo/20060817/20060817113535.gif

この状態になる確率をxと置く。・・・

さて、最初の状態から2回コインを振ったらどうなるか。・・・

http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/m/matarillo/20060817/20060817113534.gif

そうすると、3段目、5段目、7段目のどこかにたどり着いているはず。

4段目と6段目はありえないことに注意すること。

さて、3段目にいる人は、最初の状態から2連敗(コインが2連続で裏)の人だから、

ここにいる確率は1/4。

逆に7段目にいる人(おめでとう！)は、最初の状態から2連勝した人だから、

ここにいる確率も1/4。

5段目に戻ってきた人は、1勝1敗であり、確率は1/2。・・・

さらに、その位置にいる人が生存する確率を考える。

7段目にいる人が生存する確率は100%、つまり1。

5段目にいる人が生存する確率は、最初に置いたとおりx。

・・・

3段目にいる人が生存する確率は、(1 - 3段目にいる人が死ぬ確率)である。・・・

そして3段目にいる人が死ぬ確率は、対称性より、5段目にいる人が生存する確率に等しい。・・・

ということで方程式が立てられる。

x = 1/4 * 1 + 1/2 * x + 1/4 * (1-x)

これを解いて、x=2/3。

*華麗ね!! お気に入り♪

*鍵コメ様からのもの追加ぁ〜m(_ _)m〜(2012.09.18)

(1) 鍵コメA 様からのもの Orz〜

期待値を利用して，もう少し理論付けが可能です。

コインを投げると，1/2の確率で現在位置の段数が1だけ増え，
1/2の確率で現在位置の段数が1だけ減るので，
何回コインを投げても
(あるいは，生還またはゲームオーバーが決まりコインを投げなくても)
現在位置の期待値は不変。

コインを投げる回数を増やすと，生還でもゲームオーバーでもない確率は0に近づくので，
生還の確率をpとすると，7・p+1・(1-p)=5.
これは，(7-5)p+(1-5)(1-p)=0，つまり，
p:(1-p)=1/(7-5):1/(5-1)を意味する。

(2) 鍵コメB 様からのもの Orz〜

n段目にいる人の生存する確率を p(n) とすれば、p(1)＝0，p(7)＝1 です。
また、p(n)＝p(n+1)/2＋p(n-1)/2 より、p(n+1)−p(n)＝p(n)−p(n-1) となって、等差数列です。
公差は 1/6 だから p(5)＝4/6＝2/3 ですね。

*いろんな考え方があって面白いなぁ〜☆

フォン・ノイマンの頭脳...^^;

フォンノイマンの逸話見つけた... ^^

他にもいっぱいあるんだろうけど...

画像：http://www.accumu.jp/back_numbers/vol3/情報科学をめぐって.html より 拝借 Orz〜

http://maidskii.tumblr.com/post/3655569915 より 引用 Orz〜

「どの数学者もフォン・ノイマンのきわめて鋭い頭の切れを示す話をそれぞれにもっているが、ここではその一つを紹介しよう。パーティに出席したフォン・ノイマンにホステスが厚かましくも問題を出したことがある。

『二本の列車が同じ線路を向い合って時速30マイルで走っており、しばらくしたら衝突する運命にある。いま列車はちょうど1マイル離れている。このとき一方の列車の最前部に止まっていたずいぶんすばしこいハエが時速60マイルでもう一方の列車に向かって飛び立つ。ハエはもう一方の列車に到着するとただちに向きを変え同じ速度で元の列車に戻る。衝突の瞬間までこれを繰り返すと、ハエは何マイルを飛ぶことになるか。』

・・・

ホステスが問題の説明を終えるのとほぼ同時にフォン・ノイマンは「1マイル」と答えた。

「あまりに速いから驚いたわ。ほとんどの数学者はこの問題のトリックに気づかないで無限級数を使うの。だから数分かかるのよ」

*ここでノイマンの受け答えがイカしてる♪

どう言ったと思います...?

↓

↓

「どんなトリックだい？僕は無限級数を使って解いたんだが」

『My Brain is Open ―20世紀数学界の異才ポール・エルデシュ放浪記―』（Bruce Schechter[著] グラベルロード[訳] 共立出版株式会社）p154〜155より引用　」

*わたしゃ...彼のユーモアだと思ったけどぉ〜^^

ほんとはちゃんと...

上記サイトに書かれてるように...

　↓

「ほとんどの読者、特に多少でも数学が好きな読者は、それぞれの飛行でハエが移動する距離を求め、それを合計することでこの問題を解こうとするだろう。この方法は難しいわけではないが、厄介で時間のかかる無限級数の和を計算することになる。おそらくどの読者も紙と鉛筆を使って取り組むしかないだろう。しかしもっと簡単な方法も存在する。二本の列車が衝突するまでの時間を先に計算するのである。時速30マイルで進んでいて半マイル進んだところで衝突するのだから衝突は1分後に起こる。次にこの時間にハエが進む距離を求める。時速60マイルで進むハエはこの1分の間に1マイル進む。実に簡単である。」

...って考えたはずに違いないと踏んでるのよね ^^v

but...以下のようなことを知ると...まんざらウソでもなかったりする...^^;...?

http://homepage2.nifty.com/highmoon/kanrinin/meigen/ijin4.htm より Orz〜

「これで、世界で２番目に計算が上手な奴が生まれた」


by　ジョン・フォン・ノイマン（数学者　ノイマン型コンピュータの発案者）

ノイマン型コンピュータを生み出した時の言葉。」

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/ジョン・フォン・ノイマン より Orz〜

原子爆弾開発に参加したころのIDバッジ写真

「

• その驚異的な計算能力と特異な思考様式、極めて広い活躍領域から「悪魔の頭脳」「火星人」「1000分の1インチの精度で噛み合う歯車を持った完璧な機械」と評された。
• 圧倒的な計算能力については数々の逸話が残っている。
  • 電話帳の適当に開いたページをさっと眺めて、番号の総和を言って遊んでいた。
  • 水爆の効率概算のためにエンリコ・フェルミは大型計算尺で、リチャード・P・ファインマンは卓上計算機で、ノイマンは天井を向いて暗算したが、ノイマンが最も速く正確な値を出した。
  • ENIACとの計算勝負で勝ち、「俺の次に頭の良い奴ができた」と喜んだ。
  • しかし死の直前には腫瘍が脳にまで達し、3+4という一桁の計算すらできなかった。
• 幼少時代、深い思考に入るときに部屋の隅へ行き壁と壁の継ぎ目を凝視するクセがあった。・・・
• ノーベル経済学賞受賞者ポール・サミュエルソンの教科書をみて「ニュートン以前の数学ではないか」と言って笑った。
• ノーベル経済学賞受賞者ジョン・ナッシュのナッシュ均衡に関する歴史的論文を一瞬見て「くだらない、不動点定理の応用ではないか」と貶めた。
• 1930年9月7日にケーニヒスベルクで開催されていた「厳密科学における認識論」についての第2回会議においてクルト・ゲーデルが第一不完全性定理を発表すると、発表の後にノイマンはゲーデルと個人的に会話を行い、定理の内容を直ちに理解した。その会議の後、ゲーデルは第二不完全性定理を得て論文にまとめ、論文は11月17日に受理された。いっぽう、ノイマンは独力で第二不完全性定理を導き、その結果を11月20日付けの手紙でゲーデルに知らせた。ゲーデルはすぐに返答の手紙を書き、論文の別刷を添えて返送した。この分野で自分に先んじたゲーデルのことは例外的に尊敬しており、生涯高く評価し続けた。
• 何十年も居住している家の棚の食器の位置すら覚えられなかった他、1日前に会った人物の名前すら浮かばなかった。興味がないものに対しては全く無関心であると評された。・・・」

http://tkido.com/blog/tag/フォン・ノイマン より Orz〜

「かの天才フォン・ノイマンはセルオートマトンの研究から、自己複製は、情報を、

• 読み取って解釈する
• そのまま複製する

の２通りに利用するプロセスがあれば可能であることに気がついた。もちろん実際にＤＮＡが発見されるよりも、転写や複製の機構が明らかにされるよりも前のこと。・・・」

*人は人が神憑ってると...「悪魔」と呼ぶようね...^^;...?

モンティ・ホール問題...

常識的な?感覚を裏切る問題として有名ですが...再掲...^^

画像：http://www10.plala.or.jp/xyzt/pscs/pscs-sample.pdf より 拝借 Orz〜

http://self.blog.so-net.ne.jp/2006-09-16  & http://self.blog.so-net.ne.jp/2006-09-17  より 引用 Orz〜

「プレイヤーは、三つのドアを見せられる。ドアの一つの後ろにはプレイヤーが獲得できる景品があり、一方、他の二つのドアにはヤギ（景品がなく、ハズレであることを意味している）が入っている。ショーのホストは、それぞれのドアの後ろに何があるか知っているのに対し、もちろんプレイヤーは知らない。
プレイヤーが第一の選択をした後、ホストのモンティは他の二つのドアのうち一つをあけ、ヤギをみせる。そしてホストはプレイヤーに、初めの選択のままでよいか、もう一つの閉じているドアに変更するか、どちらかの選択権を提供する。プレイヤーは、選択を変更すべきだろうか？
（「モンティ・ホール問題 - Wikipedia」）　　　　　　　　　　　　　」

「モンティ・ホール問題で「プレーヤーが選ばなかった複数のドアの一つがハズレであることを知ってもプレーヤーが選んだドアが当たりである確率は変わらない。プレーヤーが選ばなかった２つのドアは１つにまとめて考えることができて、その合計確率は変わらないのだから、一方の確率が０になったらもう一方の確率はその合計確率になる」という画期的な解法があることを知って即座に納得し、すぐに変形三囚人問題に応用してみたら同じ解法が使えないことを知り、変形三囚人問題に応用する方法はないものかと探したが見つからず、画期的だと思った解法が間違っているのではないかと思い間違い探しを始め、参考文献(2)を読んで何となく問題点らしきもの（「不変の定理」という主観的定理）を見つけ、その問題点が問題であることを示して納得してもらえる方法を探して、今日に至った。...」

*こりゃわかりやすい♪

だから...

変更しなけりゃ...1/3の当たる確率が...変更すれば...2/3にアップするわけね☆

but...この考え方に問題があるって書いてあるように読めるから...時間あるときじっくり読んでみたいと思ってます...^^;...Orz〜

http://ja.wikipedia.org/wiki/モンティ・ホール問題 より

「モンティ・ホール問題（Monty Hall problem）は確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題のひとつとなっている。モンティ・ホール (Monty Hall、本名 Monte Halperin) が司会を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。 一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、ジレンマあるいはパラドックスとも称される。 「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる。・・・

開けるドアを変更すると、プレイヤーが景品を獲得する確率が2倍になる根拠は以下のようになる。プレイヤーが初めに選んだドアをA、残りのドアをB、Cとする。プレイヤーが初めのドアを選んだ時点で、それぞれのドアに景品がある確率と、モンティがそれぞれのドアを開ける確率を表にすると次のようになる。

プレイヤーが初めのドアを選んだ時点の確率

		モンティが開けるドア			合計
		A(プレイヤー)	B	C
景品があるドア	A	0	1/6	1/6	1/3
	B	0	0	1/3	1/3
	C	0	1/3	0	1/3
合計		0	1/2	1/2	1

ここでモンティがBのドアを開ける確率は全体の1/2であるが、これは、Aのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率 (1/6)、Bのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率 (0)、Cのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率 (1/3) の合計である。表をよく見れば分かるとおり、もしモンティがBのドアを開けたならば、A（プレイヤーが初めに選んだドア）の後ろに景品がある確率に比べ、Cの後ろに景品がある確率が2倍なのは明らかである。

また、当たりのドアを選ぶ確率は 1/3、ハズレのドアを選ぶ確率は 2/3 である。当たりを選んだとき第2のドアで当たる確率は 0%、ハズレを選んだとき第2のドアで当たる確率は 100% である。したがって、

第2のドアで当たる確率 = (1/3)×0 + (2/3)×1 = 2/3

同様にして、

最初のドアで当たる確率 = (1/3)×1 + (2/3)×0 = 1/3

この結果を次のように考えることができる。第2のドアに替えた場合、最初に当たりだとハズレになり、逆にハズレだと当たりになる。したがって、最初のドアで「当たり、ハズレ、ハズレ」が起こっていたものが、第2のドアでは「ハズレ、当たり、当たり」が起こることになる。すなわち、第2のドアでは「当たり」と「ハズレ」の確率が完全に逆転する。

最初のドアでは「ハズレ」の方が多いので、当然「当たり」の方が多くなる第2のドアを選択すべきである。当たる確率は 1/3 から 2/3 へ増加し、1/3 増えることになる。

あるいは、こう考えることもできる。

1. ゲームには100枚のドアが使われるとする。プレイヤーが最初のドアを選んだとき、この扉の当たりの確率はわずか1/100である。
2. 次に、正解を知っているモンティが残り99枚のドアのうち98枚を開けてヤギを見せる。
3. プレーヤーは2回目の選択をする。

最初にプレイヤーが選んだ1枚のドアと「正解を知っているモンティが開こうとしなかった残り99枚のうちのただ1枚のドア」の当たりの可能性が相違していることは直感で理解が可能であろう。

あるいは、こう考えることもできる。

1. プレイヤーは1回目の選択をする。この時点では確率は全て等しい。
2. 番組側は残りのドアをひとまとめにし、どれを開けても結果は共通と宣言する。
3. プレーヤーは2回目の選択をする。

プレーヤーが最初に選択することにより、ひとまとめの対象から（番組側から見てランダムに）外されたドアと、残りすべてのドアでは、価値が等しくないことは明らかである。・・・」

*後半の話は...上で触れられてる「不変の定理」ってやつね ^^;v

最後のランチョン/午餐(ごさん)...?

シルバーウィークに全員揃ったので、ここ予約して連れてきた♪

ランチョンは初めて...3コースの真ん中チョイス ^^;

近くのパーキングも空いててラッキー...300円/90分☆

枯れ葉も散ってるけど、まだまだ青葉茂ってる...その合間からカラス城丸見え ^^;v

みんな美味しいと感動の嵐☆☆☆

お前たちはこれで不幸になってしまったぞぉ〜って宣告す ^^

子どもらもそのうち、家庭を持ちそれぞれ巣立って行くのよね...

全員集合は、ひょっとしたら...これで最後かも...?

最後の晩餐ならぬ、最後のランチョンかも知れないなぁと...少しだけセンチになったり...

お店の大将が...この先生はまことに真面目で女性と来られたことないし、いつも仕事の話ばっかりされてます...やっぱり、家庭を大事にされてるんだと思ってました...なんて...^^;

いずれオーストラリアでお好み焼き店を始めたいって変わった夢多き大将が好きなんだけど...

いらぬお節介っていうか...Orz...サービス精神過剰だんべ...^^;...過ぎたるは何とかで...逆効果じゃん〜^^;...

なんでも...オーストラリアじゃ...200坪くらいで、前は白浜の青い海、ロブスター取れ取れ、プール付きで800万円で購入できるんだって？...思わず、わたしもその隣に病院建てちゃいますって言った ^^

Dr.いれば願ったりですねぇ!! って調子合わせていただくものだから...セレブは保険効かないよ!!...当然自由診療でっせ!!...って念押し ^^v

帰り際、今度は息子に一人38000円コースで連れてきてもらうからよろしく!! って...だめ押し...^^v

わたしも今まで書いてきたけど...子どもらも美味しいもの食べたら幸せな気分になれるなぁ〜って♪

大将の人柄も素敵だったし、また行きたいなぁって...

人を喜ばすことは仕事冥利に尽きるのよね!!...

お金じゃないのよ...ぎゃくに、コスト以上の喜びを感じさせてもらったら少々高くてもそう思わないし、コストに見合う以上のサービスを受けたと感動できれば安く感じてしまうのよね♪

長男なんてこんなお店を早く知ってたら、こんな道を進んでもよかったなぁって...

今からでも遅くないぜ、弟子入りお願いしようか？

いやいや、もう今の道で行く...ってさ...^^

人を感動させられるサービス・技術の素晴らしさに憧れてくれたなら、わたしは嬉しい☆☆☆

ほんとは...大将の修業時代の話を聞かせたかったんだけど...お忙しそうで...またの機会にお願いしようっと ^^...Orz〜