アットランダム≒ブリコラージュ

5466：面積...円の伸展曲線...

問題5466・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31815409.html  より Orz〜

　図のように、直角XOY があり、OX上の OAを直径とする 半径が 1 の半円があります。
　また、OPは長さが π の糸で、端点Oを固定していて、∠XOY 内の半円以外の部分を動かします。

　このとき、糸が通過する薄緑色の部分の面積は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31849065.html  より Orz〜

[解答1] 

　左下図のように、半円の中心を C，糸の直線部分と半円の接点を T，∠ACT＝φ とします。

　座標平面上で O(0，0)，A(2，0) とすれば、
　TP＝弧TA＝φ，T(1＋cosφ，sinφ)，ベクトルTP＝φ(sinφ，−cosφ) だから、
　P(1＋cosφ＋φsinφ，sinφ−φcosφ) になります。

　( φ＝0 のとき P(2，0) 、φ＝π のとき P(0，π) です )

　従ってこの曲線は、 x＝1＋cosφ＋φsinφ， y＝sinφ−φcosφ (0≦φ≦π) と表され、
　dx/dφ＝φcosφ， dy/dφ＝φsinφ≧0 になります。

　半円の面積は π/2 だから、求める面積を S とすれば、

　S＝∫₀^π xdy−π/2
　 ＝∫₀^π (1＋cosφ＋φsinφ)φsinφdφ−π/2
　 ＝(1/2)∫₀^π (2φsinφ＋2φsinφcosφ＋2φ²sin²φ)dφ−π/2
　 ＝(1/2)∫₀^π (2φsinφ＋φsin2φ＋φ²−φ²cos2φ)dφ−π/2

　ここで、

　∫₀^π φ²cos2φdφ＝(1/2)[φ²sin2φ]₀^π −∫₀^π φsin2φdφ＝−∫₀^π φsin2φdφ

　だから、

　S＝(1/2)∫₀^π {φ(2sinφ＋2sin2φ)＋φ²}dφ−π/2
　 ＝(1/2){ [φ(−2cosφ−cos2φ)]₀^π＋∫₀^π (2cosφ＋cos2φ)dφ＋(1/3)[φ³]₀^π }−π/2
　 ＝(1/2){ π＋[2sinφ＋(1/2)sin2φ]₀^π＋(1/3)π³ }−π/2
　 ＝(1/2){ π＋(1/3)π³ }−π/2＝π³/6 です。

[解答2] Nemoさんのコメントをもとに 

　左下図のように、半円の中心を C，糸の直線部分と半円の接点を T，∠ACT＝φ とします。
　Cを極とする極座標で A(2，0)，P(r，θ) とします。

　△TCP において、CT＝1，PC＝r，TP＝弧TA＝φ，∠PTC＝π/2，∠TCP＝φ−θ だから、
　r²−1＝φ²，r＝1/cos(φ−θ)，φ＝tan(φ−θ) です。

　φ＝tan(φ−θ) をθで微分すれば、dφ/dθ＝{1/cos²(φ−θ)}(dφ/dθ−1) 、
　dφ/dθ＝r²(dφ/dθ−1) 、r²＝(r²−1)(dφ/dθ) 、r²＝φ²(dφ/dθ) になります。

　OY上にあるときの点Pを Qとすれば、半円の面積は π/2 ，△QOC＝π/2 だから、
　求める面積を S とすれば、

　S＝(1/2)∫₀^π-arctanπ r²dθ＋π/2−π/2＝(1/2)∫₀^π-arctanπ φ²(dφ/dθ)dθ
　 ＝(1/2)∫₀^π φ²dφ＝(1/6)[φ³]₀^π＝π³/6 です。

[解答3] 

　右下図のように、半円の代わりに、正(2n)角形の半分に変えます。

　糸が通過する部分の面積Sは、
　中心角が π/n で、半径が π/n，2π/n，……，(n−1)π/n の (n−1)個の扇形と、
　中心角が π/(2n) で、半径が π の扇形の面積の和を求めることになります。

　S＝(1/2)(π/n)²(π/n)＋(1/2)(2π/n)²(π/n)＋……＋(1/2){(n−1)π/n}²(π/n)＋(1/2)･π²･π/(2n)
　 ＝{π³/(2n³)}･{1²＋2²＋……＋(n−1)²}＋π³/(4n)
　 ＝{π³/(2n³)}･n(n−1)(2n−1)/6＋π³/(4n)＝(1−1/n)(2−1/n)π³/12＋π³/(4n)

　n → ∞ として、S → 2π³/12＝π³/6 になります。　

　なお、極限を次のようにも求められます。

　S＝(1/2)(π/n)²(π/n)＋(1/2)(2π/n)²(π/n)＋……＋(1/2){(n−1)π/n}²(π/n)＋(1/2)･π²･π/(2n)
　 ＝(π³/2)(1/n)〔(1/n)²＋(2/n)²＋……＋{(n−1)/n}²〕＋π³/(4n)

　n → ∞ として、S → (π³/2)∫₀¹ x²dx＝π³/6 です。　

☆ この曲線は、円の伸開線(involute of circle) (反クロソイド(anti-clothoid)) の一部です。

*う〜ん...わからなかったぁ...^^;...

熟読玩味〜...

ちなみにさっき友人から届いてたもの...Orz〜

逆から見ると、面積を描く糸の長さは0からπまで一定の速さで長くなりながら、

瞬間においては円弧を描いていることになる。

要するに、極方程式で

r=θ（らせん r=aθの a=1）のθが0からπまでの面積になる

よって最大径πの半円の1/3でS=π^3/6

（1/3の理由は、円錐の体積は底面積の1/3の円柱である。要するに断面積が一定の速さで増えれば、断面積は2乗で増える、このようなときは1/3をいわゆる平均値と考えればよい。）

*よくわからん...^^;

5465：場合の数...カード...10の倍数

問題5465・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

１から１０までの整数が書かれたカードが１枚ずつ、合計１０枚あります。

 

いま、この１０枚のカードから１枚をとって数字をメモして戻し、また１０枚のカードから１枚をとって数字をメモして...ということを４回繰り返し、メモした数字を１枚目から順にア、イ、ウ、エとします。

 

このとき、（ア＋イ）×（ウ＋エ）が１０の倍数となるようなカードの取り出し方は何通りあるでしょうか。

解答

上記サイトより Orz〜

・uchinyanさんのもの Orz〜

 

(ア + イ) * (ウ + エ) が 10 の倍数になるのは．．．

まず，式の対称性から ア + イ で場合分けして，ウ + エ が異なる値の場合は 2 倍，同じ値の場合はそのまま，とすればいいです。

また，値の範囲から，ア + イ = 5，10，15，20 で場合分けすればいいです。

ア + イ = 5 又は 15 の場合

ア，イ は 4 + 6 = 10 通り，ウ + エ は偶数になればいいので 5 * 5 + 5 * 5 = 50 通り，

ア + イ と ウ + エ が等しくなることはないので 2 倍して，10 * 50 * 2 = 1000 通り。

ア + イ = 10又は 20 の場合

ア，イ は 9 + 1 = 10 通り，ウ + エ は原則何でもいいですが，5，15 になる場合は既に数えているので除き，

ア + イ と ウ + エ が等しくなる場合は 2 倍しないので，

10 *(10 * 10 - 10) * 2 - 10 * 10 = 1800 - 100 = 1700 通り。

以上ですべてなので，

1000+ 1700 = 2700 通り

になります。

 

・アナゴさんのもの Orz〜

 

この問題をもう少し一般化すると

(ア+イ)をX、(ウ+エ)をYとおいて、X*Yが10の倍数であるとします。

XとYを5で割った余りを少なくとも一方は0であることに注意すると

(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)の9通りに場合分けできます。

次にXとYを2で割った余りを同じように場合分けすると、(0,0)(0,1)(1,0)の3通りに分けられます。

アとウは最初自由に設定できるので、10*10*9*3=2700で答えを得られます。

*これは...重複の除き方わからず諦めました...わたしにゃ意外に難問...^^;...

華麗なる解法ってあるものねぇ☆