こんにちは、ゲストさん
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解答
上記サイトより Orz〜
・たけちゃんさんのもの Orz〜
7人が輪を作り，両隣の人と対戦するパターンが，
(7-1)!/2=360(通り) 7人が3人と4人に分かれ，3人は総当り，4人は輪を作って両隣と対戦するパターンが， (7C3)*(4-1)!/2=105(通り) 以上ですべてなので， 360+105=465(通り). *これは...円順列じゃなくって数珠順列でしたのよね ^^;
遅まきながら...気づいたり...^^;
最低３人いなければ無理なので...
あとは...7=3+4 しかありえないので... 7C3*3!/2!+6!/2!=35*3+720/2=105+360=465 *やどかりさんのサイトに同じ問題がありましたぁ☆
詳しくは以下参照〜Orz〜
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コメント（2）
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BC＝5，CA＝6，AB＝7 である△ABCを含む平面上の点A以外に点Pをとるとき、
(BP2＋CP2)/AP2 の最小値は？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31859639.html より Orz〜
[解答1]
まず、コーシー･シュワルツの不等式により、 (AB2＋AC2)(CP2＋BP2)≧(AB･CP＋AC･BP)2 、 等号は AB：AC＝CP：BP のときに成り立ちます。 また、トレミーの定理の拡張より、AC･BP＋AB･CP≧BC･AP 、 等号は 点Pが△ABCの外接円の弧BC上にあるときに成り立ちます。 このとき、AP，BCの交点をQとすれば、 △ABQ∽△CPQ より AB：BQ＝CP：PQ 、AB＝BQ･CP/PQ 、 △ACQ∽△BPQ より AC：CQ＝BP：PQ 、AC＝CQ･BP/PQ 、 よって、CQ＝BQ すなわち QがBCの中点のとき、AB：AC＝CP：BP が成り立ちます。
(AB2＋AC2)(CP2＋BP2)≧(BC･AP)2 、 (CP2＋BP2)/AP2≧BC2/(AB2＋AC2) です。 等号は点Pが△ABCの外接円の弧BC上にあり、APがBCの中点を通るときです。 本題では BC2/(AB2＋AC2)＝52/(72＋62)＝5/17 で、これが最小値になります。 [解答2] BCの中点をMとし、複素平面上で、A(0)，B(b)，C(c)，M(m)，P(1/z) とします。 また、V＝(BP2＋CP2)/AP2 とします。 V＝(|1/z−b|2＋|1/z−c|2)･|z|2＝|1−bz|2＋|1−cz|2 ここで、共役複素数を「 ’(ダッシュ)」で表すことにすれば、 V＝(1−bz)(1−b'z')＋(1−cz)(1−c'z')＝2−bz−cz−b'z'−c'z'＋bb'zz'＋cc'zz'
＝2−2(mz＋m'z')＋(bb'＋cc')zz'＝2−4･Re(mz)＋(|b|2＋|c|2)|z|2 ここで、|z| を固定すれば、|mz|＝|m||z| は一定だから、 Re(mz) が最大になるのは mz が正の実数 、arg(m)＝arg(1/z) 、Pが半直線AM上にあるときで、このとき、 V＝2−4･|m||z|＋(|b|2＋|c|2)|z|2＝(|b|2＋|c|2){|z|−2･|m|/(|b|2＋|c|2)}2＋2−4･|m|2/(|b|2＋|c|2)
よって、|z|＝2･|m|/(|b|2＋|c|2) を満たすように半直線AM上に点Pをとれば、 V の最小値は 2−4･|m|2/(|b|2＋|c|2)＝2−4･AM2/(AB2＋AC2) です。
中線定理で、AB2＋AC2＝2(AM2＋BM2)＝2･AM2＋BC2/2 が成り立つことにも注意し、 2−4･AM2/(AB2＋AC2)＝2(AB2＋AC2−2･AM2)/(AB2＋AC2)＝BC2/(AB2＋AC2) です。
本問では、 52/(62＋72)＝5/17 になります。 *難しくって...解けず...^^;...熟読玩味ぃ〜☆
ちなみに...わたしのいい加減な間違った解法...Orz...
AP=a
BP=x, CP=y x^2+y^2-2xy*cosP=5^2 x^2+y^2=25+2xy*cos(角BPC) 0<=角BPC<=π なので… 右辺の最小は…角BPC=π/2 のときで… x^2+y^2=5^2 つまり… BCを直径とする円Oの周上にPがあるときで… AP=a が最大のとき、与式は最小となるので… APはBCの中点M=円Oの中心を通るとき… a=AM+5/2 のとき最大… パップスの中線定理より…^^; 7^2+6^2=2(AM^2+(5/2)^2) AM=√145/2 AP=a=(√145+5)/2 (BP^2+CP^2)/AP^2 =5^2*2^2/(√145+5)^2 =(85-5√145)/72 ?...^^; ・やどかりさんからのご指摘 Orz〜
0≦∠BPC≦π で、cos∠BPC が最小になるのは、∠BPC＝π のときです。
*そうなのよ...^^;...but...それでも気づけなかったのよ...Orz...
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