問題5482(鍵コメN様よりの提供問) Orz〜
p を素数とし、正p角形を考えます。
正p角形の中心をOとし、Oを原点としたときの各頂点のベクトルの集合をA={ a_1,a_2,・・・a_p }とします。
A から n (n≦p-1)個のベクトルを選ぶとき、どのように選んでも n個のベクトルの和は ０ にならないことを示してください。
解答
・わたしの...
正k角形のときのすべてのベクトルの和=0
つまり...
素数pはそれらの正k角形(k<=p-1)が選べない...(pの約数は1 or p しか持たないわけだから...)
ので、題意は証明された。
少なくとも...k=1 のばあいは、ベクトル０はないのでなく、
k=2 も...pは3以上の奇素数だから、直線/原点に対象なものはないのでなく、
k=3も...正三角形は奇素数pからは選べないのでなく、...
って意味です。
これでいえたことにならないのかしら...^^;...?
*根で考えてみた...
x^p=1
x(1),x(2),...,x(p) がこれらの根
いずれも、０ではない。
たとえば...
x(a)+x(b)=0 とすると...
(x-(x(a)+x(b)) がx^p-1=0 の因数になることになるが...
x^p-1=(x-x(1))(x-x(2))...(x-x(p)) であり、
x(a)+x(b)=x(m) となり...
x^p が (x(m))^2 で割れることになるが...pは奇素数なので無理。
これは、任意の数の和でも言えるので...
x(k1)+x(k2)+...+x(kn)=x(m) となる (x(m))^2 では x^p は割れないのでありえない。
ってのでは駄目かなぁ...^^;...?
・鍵コメN様からのもの Orz〜
x^p=1の根は、ξ,ξ^2,・・・,ξ^(p-1)と表わすことができます。
Aから選んだベクトルの和が0になるとき、それに対応するξの多項式を考えることができます。
その中で次数が最小のものをf(x)とします。仮定より、f(ξ)=0であり、f(x)はQ上の多項式です。
次に1+x+x^2+・・・x^(p-1)をf(x)で割った時の余りをr(x)とします。
r(x)≠0であるとすると、deg((r(x)) < deg(f(x)) であり、r(ξ)=0なので、f(x)がf(ξ)=0となる多項式の中で
最小次数になると言う仮定に反します。
よってr(x)=0となり、
1+x+x^2+・・・x^(p-1)=h(x)f(x)と因数分解できます。
ところが、アイゼンシュタインの定理より（http://hooktail.sub.jp/algebra/Eisenstein/）、
1+x+x^2+・・・x^(p-1)は
Q上の既約多項式なので、f(ξ)=0となる多項式はf(x) = 1+x+x^2+・・・x^(p-1)しか存在しません。
*熟読玩味ぃ〜〜〜^^;...v
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