アットランダム≒ブリコラージュ

5498：最小値...積み木...

問題5498・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より Orz〜

体積１ｃ㎥ の立方体を机の上に積み上げて立体を作りました。

この立体を真上、正面、側面から見ると、下の図のようになりました。

このとき、考えられる立体の体積のうち、最も小さいときの体積を答えなさい。

解答

・わたしの...

5 4 1 4 1

1 1 3 1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

になるはず...

けっきょく...

5+2*4+3+2+15=34

♪

5497：41の倍数...

問題5497・・・http://www.vimagic.co.jp/tokeruka/121226/12-26.html より Orz〜

　１×３＋１、２×４＋１、３×５＋１、・・・２００７×２００９＋１、２００８×２０１０＋１

　の中で、４１で割り切れるものはいくつありますか。

解答

・わたしの...

(2a-1)(2a+1)+1=4a^2

41は素数なので...

a=41*b ならよい...

2a-1<2008

a≦1004

1004/41=24...20

つまり...

24個

♪

↑

間違ってた...^^;

鍵コメ様よりのもの Orz〜

↓

2^2，3^2，4^2，……，2009^2 の中での 41 の倍数だから、
[2009/41]＝49 個ですね。

*わたしゃ阿呆じゃ...^^;...

5496：最小値...絶対値の和...

問題5496・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31892818.html  より Orz〜

　x の実関数 f(x)＝|x−1²|＋|x−2²|＋|x−3²|＋……＋|x−58²|＋|x−59²| の最小値は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31932091.html  より Orz〜

[解答1]

　数直線上に P(x)，A(a)，B(b) (a＜b) をとれば、
　AP＋BP≧AB で、等号が成り立つのは Pが線分AB上にあるときだから、
　|x−a|＋|x−b|≧b−a で、等号が成り立つのは a≦x≦b のときです。

　従って、

　|x−1²|＋|x−31²|≧31²−1²＝30･32 (等号成立は 1²≦x≦31² のとき)
　|x−2²|＋|x−32²|≧32²−2²＝30･34 (等号成立は 2²≦x≦32² のとき)
　|x−3²|＋|x−33²|≧33²−3²＝30･36 (等号成立は 3²≦x≦33² のとき)
　 …………………………
　|x−29²|＋|x−59²|≧59²−29²＝30･88 (等号成立は 29²≦x≦59² のとき)
　|x−30²|≧0 (等号成立は x＝30² のとき)

　全部を加えれば、
　f(x)≧30(32＋34＋36＋……＋88)＝30･(32＋88)･29/2＝52200 です。

　また、x＝30²＝900 のとき等号が成り立つので、最小値は f(900)＝52200 です。

[解答2]

　この関数は連続で、絶対値をどのようにはずしても１次関数だからグラフは折れ線です。

　x＜30² のとき傾きは負、30²＜x のとき傾きは正だから、 x＝30²＝900 のとき最小値をとります。

　f(900)＝(900−1²)＋(900−2²)＋……＋(900−29²)−(900−31²)−(900−32²)−……−(900−59²)
　 ＝(31²−1²)＋(32²−2²)＋……＋(59²−29²)＝30･32＋30･34＋30･36＋……＋30･88
　 ＝30･(32＋88)･29/2＝52200 です。

*わたしゃ...グラフで考えた...^^...?

グラフで考えたら...x=0 と 60に関して対称で、
y=x^2 と y+60^2=x-60 の y の和なので...
交点での和が最少になる...その x は 30
つまり...(x,y)=(30,30^2) を中心に y=x^2 と y-60^2=x-60 のグラフは対称で、面積を考えると、y=30^2 との差の和が最少になる。
y>30^2 or y<30^2 ではそれら２曲線の交わる余分な面積分(上の図の+α分)大きくなってしまうから。

計算は...

|30^2-1|=(30-1)(30+1)
|30^2-59^2|=(59-30)(59+30)
二つの和=29*(31+89)=29*120
|30^2-2^2|=(30-2)(30+2)
|30^2-58^2|=(58-30)(58+30)
二つの和=28*(32+88)=28*120
つまり...
120*(29+28+...+1)=120*30*29/2=52200

5495：隣り合う数の差が1の並び...

問題5495・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

次の条件を満たすような７ケタの整数はいくつあるでしょうか。


（条件１）各位の数は、１〜５までのいずれかの整数である。（使わない整数があっても良い）


（条件２）となりあう位の数の差は１である。
　

例えば、「１２３２３４５」は条件を満たしますが、「４５４３２３５」は十の位の数と一の位の数の差が２であるから条件を満たしません。
　

このとき、条件を満たす整数は全部で何個あるでしょうか。


解答

 

上記サイトより Orz〜

 

・わたしの...

 

最初が1,2 と 4,5 は対称なので...

1,2 の場合と3の場合を格子路(右が+1, 上が-1)で地道に...^^;

f(1)=5+9+4=18

f(2)=14+13=27

f(3)=9+18+9=36

けっきょく...

2*(18+27)+36=90+36=126

 

 

・巷の夢さんのものOrz〜

 

真ん中の数を決めれば、両側は対称なので、その組み合わせを二乗して・・・・、例えば、１なら３×３、２なら６×６となり、これらを加え、１２６となりました。

 

*なるほど☆

 

１−２１２、２３１、２３４

２−３２３、３２１、３４３、３４５、１２１、１２３

３−４５４、４３４、４３２、２３２、２３４、２１２

 

2*(3^2+6^2)+6^2=126なのね♪

 

・uchinyanさんのもの Orz〜

 

こういうのはやはり漸化式だよね，ということで，こんな感じ。

 

最上位桁の数字で場合分けすると，

最上位桁の数字が1 の n+1 桁の数の個数= 最上位桁の数字が 2 のn 桁の数の個数

最上位桁の数字が2 の n+1 桁の数の個数= 最上位桁の数字が 1 のn 桁の数の個数 + 最上位桁の数字が3 の n 桁の数の個数

最上位桁の数字が3 の n+1 桁の数の個数= 最上位桁の数字が 2 のn 桁の数の個数 + 最上位桁の数字が4 の n 桁の数の個数

最上位桁の数字が4 の n+1 桁の数の個数= 最上位桁の数字が 3 のn 桁の数の個数 + 最上位桁の数字が5 の n 桁の数の個数

最上位桁の数字が5 の n+1 桁の数の個数= 最上位桁の数字が 4 のn 桁の数の個数

ただし，1桁の数は 1，2，3，4，5 を1 個ずつ用意します。

後は，この式の計算を表の形で表し，左から，最上位桁の数字が1，2，3，4，5の数の個数，個数の合計，とすると，

1 桁の数：001 001 001 001 001 005

2 桁の数：001 002 002 002 001 008

3 桁の数：002 003 004 003 002 014

4 桁の数：003 006 006 006 003 024

5 桁の数：006 009 012 009 006 042

6 桁の数：009 018 018 018 009 072

7 桁の数：018 027 036 027 018 126

となって，答えは126 個 になります。

 

*考え方はわかりました☆

 

・みかんさんのものOrz〜

 

一般化すると

１ケタ＝５通り、２ケタ＝８通り、３ケタ＝１４通り

４ケタ以上＝（ｎ−２）ケタの場合の数×３

 

・とんとんさんのものOrz〜

 

nは2以上の自然数の個数は…

nが偶数のとき　8*3^((n-2)/2)

nが奇数のとき　14*3^((n-3)/2)です。

末項に注目して漸化式をつくることで導けます。

 

*なかなかついていけましぇん...^^;...

・鍵コメTさまのもの Orz〜

ちょっとパスカルの三角形風に，次のようにできると思います．

1桁は，1,2,3,4,5から始めるのがそれぞれ1通り．
これを「1桁: 1 1 1 1 1」と表す．
ある桁数の個数は，1桁少ない個数の，両斜め上の和(端は片方だけ)となるので，
1桁: 1 1 1 1 1
2桁: 1 2 2 2 1
3桁: 2 3 4 3 2
4桁: 3 6 6 6 3
となり，4桁のとき，2桁のときの3倍だから，以下は，2桁手前の3倍．
7桁なら，3桁の9倍で，(2+3+4+3+2)*9=126.

*華麗にしてね母さん☆