5452：立体...展開図の組み立ての切断...

問題5452・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図は、ある立体の展開図を表しており（図の点線部分は折り目を表しています）、図中の■印のついた部分の角度はすべて６０°となっています。また、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＦＧ＝ＧＨ＝ＨＩ＝ＩＪ＝ＫＬ＝ＬＡ、ＥＦ＝ＪＫ＝２ＡＢとなっています。さらに、この展開図を組み立てて出来る立体の体積は５４cm³です。

 

このとき、図中の３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの立体を切断したとき、Ａを含むほうの立体の体積は何cm³であるかを求めてください。ただし、Ｐ、Ｑ、ＲはそれぞれＡＬ、ＤＥ、ＦＧの中点であるものとします。

解答

上記サイトより Orz〜

・☆ミ さんのもの Orz〜

図の立体が体積72(=54*(8/6))の正四面体の欠けた形で

それの上半分だから72*((3^3-2^3-1^3)/4^3)で20.25

 

・uchinyanさんのもの Orz〜

(解法1)

一辺 4 の正四角すいに埋め込んで考えます。ただし，以下では比を考えるので一辺 1 の正四角すいの辺や高さを単位として計算します。

すると，正四角すいの体積は，4 * 4 * 4 * 1/3 = 64/3，です。

そして，展開図を組み上げた立体は，正四角すいの底面の正方形の半分を底面とする屋根型を二つ除いたもので，体積は，

64/3 - (2 * 2 * 1/2 * 2 + 2 * 2 * 2 * 1/3) * 2 =64/3 - 40/3 = 8

です。

一方，切断した部分は，展開図を組み上げた立体から，大きさの違う屋根型を引いたり足したりしたもので，その体積は，

8 - ((3 * 3 * 1/2 * 1 + 3 * 3 * 3 * 1/3) - (2 * 2 *1/2 * 2 + 2 * 2 * 2 * 1/3) - (1 * 1 * 1/2 * 3 + 1 * 1 * 1 * 1/3))

= 8 - (27/2 - 20/3 - 11/6) = 8 - 5 = 3

これより，

求める体積 = 54 * 3/8 = 81/4 cm^3

になります。

 

(解法2)

一辺 4 の正四面体に埋め込んで考えます。ただし，以下では比を考えるので一辺 1 の正四面体の辺や高さを単位として計算します。

すると，正四面体の体積は，4 * 4 * 1/2 * 4 * 1/3 = 32/3，です。

そして，展開図を組み上げた立体は，一辺 2 の正四面体を二つ除いたもので，体積は，

32/3 - (2 * 2 * 1/2 * 2 * 1/3) * 2 = 32/3 - 8/3 = 8

です。

一方，切断した部分は，一辺 3 の正四面体から，一辺 2 の正四面体と一辺 1 の正四面体を引いたもので，その体積は，

(3 * 3 * 1/2 * 3 * 1/3) - (2 * 2 * 1/2 * 2 * 1/3) -(1 * 1 * 1/2 * 1 * 1/3)

= 9/2 - 4/3 - 1/6 = 18/6 = 3

これより，

求める体積 = 54 * 3/8 = 81/4 cm^3

になります。

*まったくお手上げでしたぁ...^^;...

次のもいまだ入れず...^^;;...?