アットランダム≒ブリコラージュ

5454：線分比...正方形と対角線...

問題5454・・・「みっちの隠れ家」さんのサイト  http://micci.sansu.org  より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

5453：ガウス記号...下３桁の数...

問題5453・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31775932.html  より Orz〜

　ガウス記号で表される数 [10⁹⁹⁹⁵¹³/499] の下３桁は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31809919.html  より Orz〜

[解答1] 

　499は素数だから、フェルマーの小定理より 10⁴⁹⁸≡1 (mod 499) です。

　999513＝498･2007＋27 に注意して、
　10⁹⁹⁹⁴⁸⁶＝(10⁴⁹⁸)²⁰⁰⁷≡1 (mod 499) だから、(10⁹⁹⁹⁴⁸⁶−1)/499 は自然数、
　(10⁹⁹⁹⁵¹³−10²⁷)/499＝10⁹⁹⁹⁵¹³/499−10²⁷/499 は 10²⁷ の倍数、
　よって、[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] と [10²⁷/499] は下３桁(下27桁)が一致します。

　ここで、2x⁸ を (x−2) で割った余りは 2･2⁸＝512 だから、商を Q(x) とすれば、
　Q(x) は 整数係数の整式で、 2x⁸＝(x−2)Q(x)＋512 です。

　両辺に x/(x−2) をかけて、2x⁹/(x−2)＝xQ(x)＋512x/(x−2)＝xQ(x)＋512＋1024/(x−2) 、
　x＝1000 を代入して、2･10²⁷/998＝1000Q(1000)＋512＋1024/998＝1000Q(1000)＋513＋26/998 、
　[10²⁷/499]＝1000Q(1000)＋513 だから、下３桁は 513 です。

[解答2] 

　[解答1]で述べた通り、[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] と [10²⁷/499] は下３桁が一致します。

　10³≡2 (mod 499) に注意すれば、10²⁴≡2⁸＝256 (mod 499) だから、
　(10²⁴−256)/499 は自然数、(10²⁷−256000)/499＝10²⁷/499−256000/499 は 1000の倍数、
　よって、[10²⁷/499] と [256000/499] は下３桁が一致します。

　[256000/499]＝513 が求める答になります。

　また、
　10³≡2 (mod 499) に注意すれば、10²⁷≡2⁹＝512≡13 (mod 499) 、
　よって、[10²⁷/499]＝(10²⁷−13)/499 になり、
　99……99999987−499･3＝99……99998490 、99……99998490−499･10＝99……99993500 、
　99……99993500−499･500＝99……99744000 と、下位から計算すると下３桁は 513 です。

[解答3] 

　499は 10と互いに素な素数だから、1/499 の循環節の桁数は 498の約数(実際は498桁)になります。

　[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] の下３桁は 1/499 の小数第999511位〜小数第999513位の数で、
　999513＝498･2007＋27 だから、 1/499 の小数第25位〜小数第27位の数と一致します。

　1/499＝2/(1000−2)＝2･10^-3/(1−2･10^-3) だから、
　これは、初項 2･10^-3，公比 2･10^-3 の無限等比級数の和になります。

　2･10^-3＋4･10^-6＋8･10^-9＋16･10^-12＋32･10^-15＋64･10^-18＋128･10^-21＋256･10^-24
　 ＋512･10^-27＋1024･10^-30＋……
　 ＝0．002004008016032064128256513026…… となって、
　求める答は 513 です。

*わたしもフェルマーの小定理を使いました ^^

ほぼ同じですが...

10^999513/499
499は素数...
10^500≡1 mod 499
[10999513/499]=[((10^500-1)+1)^1999*10^13/499]
下３桁は...[10^13/499]のはず...
[10^13/499]=[2^13*(499+1)^13/499]
下３桁は...[(2^26-1)+2^13)/499]になるはず...
2^13/499=(2*499+2+24)*2^3/499
2^4+24*8/499
2^26=(1024)^2*2^6
(2*499+2+24)^2*2^6...
(4*499+4*26+26^2/499)*64
=127744+6656+87+11/19
けっきょく...
2^4+24*8/499+127744+6656+87+11/19=134503+9137/9481
つまり...下３桁は...503

*わたしの...途中から計算面倒になってるなぁ...^^;