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改題...
ここに一本の線分がある。定規とコンパスだけで３等分しなさい。
解答
上記サイトに載っていたアイデア♪
↓
長方形の対角線同士は互いを二等分し...
対辺の中点を結ぶ線との交点は、重心そのものになるので...
つまり...対角線の半分を2:1に分けるわけだから...
対角線は 2:1+1:2=1:1:1 (三等分)に分けられている。
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2012年08月12日
コメント（3）
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ｘ,ｙ,ｎは０以上の整数とするとき、次の不定方程式・不定不等式の解の個数を求めてください。
（１）不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
（２）不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎ＋１の解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
（３）不定不等式 ２ｘ＋ｙ≦２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
（４）100円、50円、10円の硬貨を使って840円をちょうど支払う方法
（それぞれの硬貨の枚数) は何通りあるか。ただし、全種類の硬貨を用いなくても良い。
解答
上記サイトより Orz〜 ・uchinyanさんのもの Orz〜
（１）不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
x = 0 〜 n に対して y = 2n - 2x と一意に決まるので，n+1 個。
（２）不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎ＋１の解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。x = 0 〜 n に
して y = 2n+1 - 2x と一意に決まるので，n+1 個。
（３）不定不等式 ２ｘ＋ｙ≦２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。2x + y = m，m = 0, 1,
2, ..., 2n，の解の個数を足し上げればいいので，
m = 2k，k = 0 〜 n と m = 2k+1，k = 0 〜 n-1 に分けて，(1)と(2)の結果を使って，
Σ[k=0,n]{k+1} + Σ[k=0,n-1]{k+1}
= 2 * Σ[k=0,n-1]{k+1} + (n+1)
= 2 * n(n+1)/2 + (n+1) = n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2 個
（４）100円、50円、10円の硬貨を使って840円をちょうど支払う方法
（それぞれの硬貨の枚数）は何通りあるか。ただし、全種類の硬貨を用いなくても良い。
100円，50円，10円の硬貨を，x 枚，y 枚，z 枚，x >= 0，y >= 0，z >= 0，使うとすると，
100x + 50y + 10z = 840，10x + 5y + z = 84，5(2x + y) + z = 84
u = 2x + y とおくと，u >= 0，5u + z = 84，z = 84 - 5u
u = 0 〜 16 に対して z は一意に決まり，2x + y <= 16 となるので，
(3)の結果，n = 8，を使って，(8+1)^2 = 9^2 = 81 通り。
(別解1) 検算その１ 図形的に
(1)，(2)，(3)は (x,y)-座標系で考えると，解の (x,y) はいわゆる格子点になります。
(1)の解は，直線 y = - 2x + 2n 上の格子点なので，
(0,2n), (1,2n-2), (2,2n-4), ..., (n-1,2), (n,0) の n+1 個。
(2)の解は，直線 y = - 2x + 2n+1 上の格子点なので，
(0,2n+1), (1,2n-1), (2,2n-3), ..., (n-1,3), (n,1) の n+1 個。
(3)の解は，直線 y = - 2x + 2n，x 軸，y 軸，で囲まれた直角三角形の内部及び周上の格子点なので
この直角三角形を二つ用意し斜辺でくっつけて長方形を作って考えると，
求める個数
= ((出来上がる長方形の内部及び周上の格子点の個数) + (斜辺上の格子点の個数))/2
= ((n+1)(2n+1) + (n+1))/2 = (n+1)(2n+2)/2 = (n+1)^2 個。
(4)は，３次元で図形的に考えるのは大変なので，格子点を数えるエッセンスだけを単純に，
100x + 50y + 10z = 840，10x + 5y + z = 84，
5y + z = 84 - 10x >= 0，0 <= x <= 8，
x = 84 - 10x - 5y >= 0，0 <= y <= 16 - 2x，
求める個数
= Σ[x=0,8]{Σ[y=0,16-2x]{1}} = Σ[x=0,8]{17 - 2x}
= 17 * 9 - 2 * (8 * 9)/2 = 17 * 9 - 8 * 9 = 9 * 9 = 81 個
(別解2) 検算その２ 場合の数で
(1)は，2x + y = 2n より y は偶数なので，y = 2u とおくと，
x + u = n，x >= 0，u >= 0
これは，2 種類のボールを重複を許して合計 n 個取ってくる場合の数と同じなので，
2Hn = (n+1)Cn = n+1 通りで，(x,u) の組，したがって (x,y) の組としては n+1 個。
(2)は，2x + y = 2n+1 より y は奇数なので，y = 2u+1 とおくと，
x + u = n，x >= 0，u >= 0
これは，(1)と同じなので，(x,u) の組，したがって (x,y) の組としては n+1 個。
(3)は，2x + y = m，m = 0, 1, 2, ..., 2n，の解の個数を足し上げればいいので，
m = 2k，k = 0 〜 n と m = 2k+1，k = 0 〜 n-1 に分けて考えて，
x + u = k，k = 0 〜 n の個数の２倍から x + u = n の個数を引いたもの，です。
前者は v >= 0 として x + u + v = n として考えた場合の (x,u,v) の個数の２倍と同じで，
3Hn * 2 = (n+2)Cn * 2 = (n+2)(n+1)/2 * 2 = (n+2)(n+1) 個，
後者は n+1 個，なので，
求める個数 = (n+2)(n+1) - (n+1) = (n+1)^2 個。
(4)は，100x + 50y + 10z = 840，10x + 5y + z = 84。
z = 5u + 4，u >= 0，とおくと，10x + 5y + (5u + 4) = 84，2x + y + u = 16。
ここで，y + u は偶数になるので，y，u が両方とも偶数か両方とも奇数になります。
y = 2v，u = 2w，v >= 0，w >= 0，の場合は，2x + 2v + 2w = 16，x + v + w = 8。
これは，3 種類のボールを重複を許して合計 8 個取ってくる場合の数と同じなので，
3H8 = 10C8 = (10 * 9)/2 = 45 通りで，(x,v,w) の組，したがって (x,y,z) の組としては 45 個。
y = 2v+1，u = 2w+1，v >= 0，w >= 0，の場合は，2x + (2v+1) + (2w+1) = 16，x + v + w = 7。
これは，3 種類のボールを重複を許して合計 7 個取ってくる場合の数と同じなので，
3H7 = 9C7 = (9 * 8)/2 = 36 通りで，(x,v,w) の組，したがって (x,y,z) の組としては 36 個。
そこで，これらの和になるので，
求める個数 = 45 + 36 = 81 個。
・わたしの...
ｘ，ｙ，ｎは０以上の整数とするとき、次の不定方程式・不定不等式の解の
数を求めてください。
（１） 不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
yが0,2,…,2nまでのn+1通り
（２） 不定方程式 ２ｘ＋ｙ＝２ｎ＋１の解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
y-1=z と考えれば…z-1が0,2,…,2nまでのn+1通り
（３） 不定不等式 ２ｘ＋ｙ≦２ｎの解（ｘ，ｙ）の組の個数をｎで表わせ。
2nまでに偶数は0,2,…,2n のn+1通り…(n+1)(n+2)/2
奇数は1,3,…,2n-1 のn通り…(n＋1)n/2
合計＝(n+1)(n+2)/2＋(n＋1)n/2=（n＋１）^2 通り
（４）100円、50円、10円の硬貨を使って840円をちょうど支払う方法（それ
れの硬貨の枚数）は何通りあるか。ただし、全種類の硬貨を用いなくても良い。
10x+5y+z=84
z-4=m とすると…
10x+5y+m=80
m=5k
2x+y+k=16
y+k=2z
y+k は…0,2,…,16 の17通り
2H0+2H2+2H4+2H6+2H8+2H10+2H12+2H14+2H16
=1C0+3C2+5C4+7C6+9C8+11C10+13C12+15C14+17C16
=1+3+5+7+9+11+13+15+17
=18*4+9
=9*9
=81 通り
詳しくは...上記サイトへ Go〜♪
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解答
全くグリコのマーク...^^;
頭金縛り状態...
but...面白そうだから...調べてみようかなぁ...^^...Orz〜
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以下のサイトで見つけたけど...なるほどそうなのか...♪
点対称な立体ならすべて言えますよね ^^...
画像：http://d.hatena.ne.jp/sakakibara1984/20080402/p1 より 拝借 Orz〜
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三角形の無限相似分割は...直角三角形ならいくらでも可能だけど...^^
この三角形も無限の彼方まで可能なんですねぇ☆
黄金三角形
「底辺と等辺の長さの比が黄金比の鋭角二等辺三角形を，黄金三角形という。黄金三角形は，正五角形に対角線を引いたときに現れる，頂角が36°，底角が72°の二等辺三角形である。黄金三角形の底角を二等分すると，小さい黄金三角形が現れ，残りの部分も二等辺三角形になる。大小の黄金三角形の相似比はもちろん黄金比である。頂角が底角のちょうど半分であるところがポイントで，そのような二等辺三角形は黄金三角形に限られる。」
*こういうのフラクタル図形って呼ぶんじゃなかったっけ？
収束点(対称だから...2個あるのよね ^^...それとも...その都度2分岐するから...無限個の収束点...?
but...どんどん狭まって行くから...やはり２個なんだろか...?)...
それはどこなんだろぅ...^^;...?
複素数の掛け算の極限を計算すればいいはずなんだけど...^^;
*鍵コメ様から頂戴した(2012.08.13)回答です〜☆〜
〜グラッチェ〜♪〜m(_ _)m〜♪
↓
『黄金三角形の収束点は無数に存在します．
はじめの三角形をAB=ACの二等辺三角形とすると，最も分かりやすいのは，BおよびCです． (常にBが残りの二等辺三角形の頂点となるようにできますね) また，2段階前と同じ向きの二等辺三角形を残すことを禁止するとき， (これが最も対称性の高い操作だと思いますが) 収束点は，はじめにB,Cのどちらの角を二等分するかで決まり， ∠Bを二等分したときは， △ABZ:△BCZ:△CAZ=(√5+3):2:2 の比に三角形ABCの面積を分ける点Zが収束点です． 最後の結果は，A,B,Cの位置ベクトルをvec(a),vec(b),vec(c)とし， ∠Bの二等分線とACの交点をD，その位置ベクトルをvec(d)とし， 求める収束点をZ,その位置ベクトルをvec(z)とし， vec(z)=αvec(a)+βvec(b)+γvec(c) (α+β+γ=1)とおくとき， vec(z)=αvec(b)+βvec(c)+γvec(d) と表されることと， vec(d)=(2vec(a)+(√5+1)vec(c))/(√5+3) であることから導けます。』
*熟読/解読玩味ぃ〜〜〜☆☆☆
ちなみに...黄金長方形の作り方は...逆に考えてみれば思いつくように...
フィボナッチ数列で作ればいいですよね☆
で...
フィボナッチ数列を表す式に黄金比φが現れてくることも納得できたり♪
↓
画像：http://www.f7.dion.ne.jp/~ja8da/talk06.htm より Orz〜
画像：http://kk-online.jp/math007.html より Orz〜
これを...
"いたる心太"状況と呼んじゃう ^^;v
画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/黄金比 より
「黄金長方形（辺の長さの比が黄金比になる四角形）の黄金分割。黄金長方形から短辺を一辺とする正方形を取り除くと、残る部分はまた黄金長方形となる。これを繰り返すと、黄金長方形は無限個の正方形で埋め尽くされる。」
*この図を見てたら...収束点を原点と考えて...
逆算して求めた方が速そな気がしたり...?
と言ってもわたしにゃできませぬが...Orz...
http://ja.wikipedia.org/wiki/フィボナッチ数 より
「フィボナッチ数（Fibonacci number）は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）にちなんで名付けられた数である。n 番目のフィボナッチ数を Fn で表すと で定義される。これは、2つの初期条件を持つ漸化式である。
この数列はフィボナッチ数列（Fibonacci sequence）と呼ばれ、
と続く。最初の二項は0,1と定義され、以後どの項もその前の2つの項の和となっている。 フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:
この式は1843年にビネ (Jacques Philippe Marie Binet) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の1730年 (ド・モアブル)・1765年（オイラー）にも発表されており、ビネは最初の発見者ではない。
この式の第2項は n = 0 のときの http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/math/2/d/4/2d4ce44fecefa01450e17747cba7f432.png が最大で、それを超えることはない。従って、第2項を略した次の式は Fn の値を 0.447 以下（n > 4 のとき1%以下）の誤差で与える近似式である。
この誤差は 0.5 より小さいので、Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。
・・・
次の関係式が知られている。 フィボナッチ数のうち平方数であるものは F1 = F2 = 1, F12 = 144 のみ (Cohn 1964)、立方数であるものは F1 = F2 = 1, F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969)である。フィボナッチ数のうち累乗数であるものはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)。
フィボナッチ数の逆数の総和 (reciprocal Fibonacci constant) はある一定の値に収束し、記号ψで表される。
ψは無理数であることが証明されているが (André-Jeannin 1989)、超越数であるかどうかは分かっていない。」
フィボナッチって不思議な魅力に富んでる数だなぁ♡
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