アットランダム≒ブリコラージュ

5251：消費税...5%,8%ともに表示できない最小の値段...

問題5251・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://homepage1.nifty.com/Hagure/  より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・なかさんのもの Orz〜

十分条件でしかありませんが、

消費税５％で税込み２１円の倍数はちょっきり作れる。
消費税８％で税込み２７円の倍数はちょっきり作れる。
そこで、２１と２７の最小公倍数１８９円は、
消費税５％でも８％でもちょっきり作れる。
それより１円小さい１８８円は作れない。

・わたしのぎこちない解法...^^;

1/1.05=20/21...21円ごとに変わる
つまり...21*x-1 が表せない数...
20,41,62,83,...

1/1.08=25/27=12.5/13.5...13.5円ごとに変わる...
つまり...[13.5*y] が表せない数...
13,27,40,54,...

けっきょく...
20+21*x=13+[13.5*y]
21*x=[13.5*y]-7
mod 7 で...
1：13...-1
2：27(-13)=14...0
3：40(-27)=13...-1
4：54(-40)=14...0
5：67(-54)=13...-1
6：81(-67)=14...0
7：94(-81)=13...-1
8：118(-94)=14...0
9：121(-118)=13...-1
10：135
これを繰り返すので...ここまでで...-1x5=-5 なので...
もう2個-1がいる...
つまり...
11：135+13=148...-1
12：148+14=162...0
13：162+13=175...-1

が初めて mod 7 で 0
このとき、175-7=168
168/21=8=x
20+21*8=188
このとき...y=13 で...13+[13.5*13]=13+[175.5]=188
で...ビンゴ♪

・鯨鯢(Keigei)さんからの解説コメ Orz〜

20＋21x＝13＋[13.5y] のあとは、次のように解けます。
[13.5y]−21x＝7 となって、 13.5y の小数部分は 0 または 0.5 だから、
13.5y−21x＝7，7.5 、27y−42x＝14，15 ですが、
27y−42x は 3 の倍数だから、27y−42x＝15 しかなく、9y−14x＝5 となります。
ここで、9・13−14・8＝5 だから、

辺々引いて、9(y−13)−14(x−8)＝0 、(y−13)/14＝(x−8)/9 になり、
(y−13)/14＝(x−8)/9＝k とおけば、y＝14k＋13，x＝9k＋8 です。
金額は 20＋21x＝20＋21(9k＋8)＝189k＋188 になります。

*見事に解けるものなのね☆♪

5250：直角二等辺三角形の頂点間の距離...☆

問題5250・・・やどかりさんの息子さんが中学生の時の作問☆  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30971413.html  より Orz〜

　図のように、∠A が直角である直角二等辺三角形ABCの辺BC上に点Dをとって、
　∠B，∠C が直角である直角二等辺三角形BED，CDFをつくり、
　EFに関してDと反対側にGをとって、EFを斜辺とする直角二等辺三角形GFE を作ります。

　BE＝2 ，CF＝12 とすれば、線分AGの長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31016207.html  より Orz〜

[解答1] 

　左下図のように、B，G，F，C がそれぞれ AP，PQ，QR，RA 上にあるように、長方形APQRを描き、
　Eから AP，PQ におろした垂線の足をそれぞれ S，T とします。

　BC＝BD＋CD＝BE＋CF＝2＋12＝14 だから AB＝AC＝BC/√2＝7√2 、
　また、PT＝SE＝SB＝BE/√2＝√2 、RC＝RF＝CF/√2＝6√2 になります。

　次に、△TGE≡△QFG より、TG＝QF＝x，SP＝ET＝GQ＝y とすれば、
　AP＝RQ より 7√2＋√2＋y＝6√2＋x 、x−y＝2√2 となり、
　AR＝PQ より 7√2＋6√2＝√2＋x＋y 、x＋y＝12√2 となりますので、
　連立方程式を解いて、x＝7√2，y＝5√2 になります。

　AP＝7√2＋√2＋y＝13√2，PG＝√2＋x＝8√2 となって、
　AG＝√{(13√2)²＋(8√2)²}＝√466 です。


[解答2] 

　四角形DEGFは円に内接するから、トレミーの定理より、
　EF･DG＝DE･FG＋DF･EG 、EF･DG＝(2√2)(EF/√2)＋(12√2)(EF/√2)＝14EF 、DG＝14 になります。

　また、∠EDG＝∠EFG＝45ﾟ だから、DG⊥BC になります。

　ここで、右下図のように、AGを対角線とし、DGを辺の一部に含む長方形を描き、
　BCとのD以外の交点をHとすれば、 AH＝CH＝BC/2＝(2＋12)/2＝7 、DH＝12−7＝5 だから、
　この長方形の２辺は 5，21 で、対角線の長さ AG＝√(5²＋21²)＝√466 です。


[解答3] 

　複素平面上で、E(0)，B(−2)，C(−2＋14i)，F(10＋14i) とすれば、A(−9＋7i) で、
　(10＋14i){cos(−π/4)＋i･sin(−π/4)}/√2＝(10＋14i)(1−i)/2＝12＋2i だから G(12＋2i) です。

　AE＝|(12＋2i)−(−9＋7i)|＝|21−5i|＝√(21²＋5²)＝√466 です。

*解法の3,1には気づけるも...やどかりさんのジュニア君の解法2は...ヒントもらっても思い至れず...^^;

トレミーの定理使ったスマートな解法ね☆

ちなみにわたしがひねり出したものを以下に...Orz...

・座標で...Orz...

BCをx軸として、点A：(0,7) と考えて...
点G：(0,-7)+(-7,5)(0,1)=(-5,-14)
点A：(0,7) と (-5,-14) との距離=√(5^2+21^2)=√466

あとは...下の図ご笑覧くださいませませ...^^