アットランダム≒ブリコラージュ

5260：天秤...一つがフェイク...

問題5260・・・筋肉の申し子さんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/6891984.html  より Orz〜

(1) 12枚の重さも見た目も一様なコインに1枚偽金貨が紛れ込みました。

　偽物は重さだけが僅かに軽いのです。

　何回天秤をつかえばその一枚を見つけられるでしょうか？

 

(2) 12枚の重さも見た目も一様なコインに1枚偽金貨が紛れ込みました。

　偽物は重さだけが僅かに違うのです。

　何回天秤をつかえばその一枚を見つけられるでしょうか？

 

(3) n枚の重さも見た目も一様なコインに1枚偽金貨が紛れ込みました。

　偽物は重さだけが僅かに違うのです。

　何回天秤をつかえばその一枚を見つけられるでしょうか？

　ただしn≧2とします。

 

解答

・わたしの...

1)   4-4-4 に分けて、(1)どれか２グループを比べる (2)同じなら残りの４から2-2を比べる (3)軽い方の２枚を比べる (2')違うなら軽い方を2-2に分けて (3') 軽い２枚を比べる...計３回

2)   
4-4-4 に分けて (1)いずれかの２グループを比べる (2) 同じなら、片方を残し残りの４枚と比べる...これで偽物の軽重がわかる (3) 違った方を2-2 に分けて比べ(4) 軽い(or 重い)方の２枚を比べる。。。計4回


　 (2') 異なるなら片方を残して残りの４枚と比べる...同じなら移動した４枚に偽物がありその軽重も分かっている ...違うなら...新たに載せた方に偽物がありその軽重も分かる

            (3'), (4') は同じ。。。計４回

3)   軽重がわかっていれば(1回必要)...


・nを3進法で表すとき...


たとえば...19=201...6-6-6-1
6-6 が釣り合わなかったら...残りの６と片方を入れ替えれば...どちらかの軽重がわかる...その中から...2-2-2 とすれば、あと２回でわかる...
1+1+2=4


101=1022...33-33-33-2 
軽重は２回目まででわかる...


11=102...
11-11-11
1回でその組がわかる...


3=10...
3-3-3
あと２回でわかる...
つまり...1+2+2=5


 


けっきょく...各桁にある０でない個数+2 回でできそう...


それをどう証明すればいいのかわからないけど...^^;...?

いい加減な話ですんません...Orz...

↑

間違ってましたぁ...^^;...Orz...

鍵コメ様の華麗な発想のご紹介☆☆☆

↓

(1),(2)は，多分，本物12枚と偽物1枚の合計13枚です．
(でないと，(3)でn=2のとき，判断のしようがありません．)

その前提で (2) を解いてみます．

まず，準備として，4枚の偽物候補(A,B,C,D)と本物(T)があるときを考えておきます．

まずABとCTを比べ，
AB=CTのときはDとTを，AB>CTまたはAB<CTのときはAとBを比べれば，
どれが偽物か，それは重いか軽いかが分かります．
また，実は偽物候補に偽物が含まれないときも，そう判断できます．

すると，(2)は次のようにできます．

まず13枚のうちの4枚と4枚を比べる．
つり合えば，残り5枚のうちに偽物があるので，
そのうち4枚を偽物候補とし，本物と分かった1枚を使って，上の方法で，
4枚のどれが偽物か，それともどれでもないか(つまり残り1枚が偽物)
がわかる．
つり合わなかったとき，ABCD>EFGHとして，
(AE),(BF),(CG),(DH)を偽物候補，本物2枚の組を本物として，
上の方法を用いれば，例えば
「(AE)が重い」なら偽物はA，「(BF)が軽い」なら偽物はF
のように判断できる．

以上より，必要な回数は3. 

*ここまでは理解できましたぁ〜^^ ブラボー!! ですね♪

以下がまだわたしには咀嚼できてないまんまなんだけど...^^;...Orz〜

↓

実は，偽物候補13枚でも，本物とわかっているものが1枚あれば，
3回で，偽物が重いか軽いか，実は偽物はないのかまで含めて判断できます．

はじめに，偽物候補5枚と，偽者候補4枚+本物とを比べれば
「偽物候補4枚」，
「重い候補5枚と軽い候補4枚」，「軽い候補5枚と重い候補4枚」
のいずれかとなり，以下，上の方法と同様にすればよいだけです．

すると，40枚の偽者候補があるとき，4回で偽物を決定できることになります．
さらに，本物が1枚ある前提なら，偽物が重いか軽いか実はないかもわかります．

同様に繰り返すことができて，結局，
偽物候補(3^k-1)/2枚(本物の枚数(3^k-3)/2)までは，
k回で判断ができることになるので，
(3) の結論(必要な回数)は，
「log[3](2n+3)，小数点以下切り上げ」
となると思います．

5259：場合の数...すべての隣り合うペアのどちらかの色が同じ...

問題5259・・・筋肉の申し子さんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/6885800.html  より Orz〜

n人の人間が一列に並んでいます。

この人達に7色あるなかから、１つ帽子を選んで被せていきます。

どの隣接した二人を比べても、必ず共通の色があるようにしたいと思います。

 

例：赤:青:紫:青→(赤,青)(青,紫)(紫,青)　　

　　青:赤:青:青→(青,赤)(赤,青)(青,青)　いずれも青が共通。

被せ方は何通りでしょうか？

解答

簡単そうだのに...

クールダウンして考えようっと...^^;

5258：あるオブジェの体積...

問題5258・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31008823.html  より Otz〜

　xyz空間で、y²＋z²≦1 ，z²＋x²≦1 ，x²＋y²≦1 のすべてを満たす領域の体積V は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31076386.html  より Orz〜

[解答1] 

　この領域をと平面 z＝t の共有部分は、
　x≦1−t² ，y≦1−t² ，x²＋y²≦1 だから、
　その面積を S(t) とすれば、xy平面上の正方形の１辺は 2√(1−t²) に注意すると、
　1/√2≦t≦1 のとき、S(t)＝4(1−t²) です。

　0≦t≦1/√2 のとき、図の赤○の角を f(t) とすれば、( f(t)＝Sin^-1t です)

　 S(t)＝4t√(1−t²)＋(1/2){2π−8f(t)}＝4t√(1−t²)＋π−4f(t) です。

　V＝∫_-1¹ S(t)dt＝2∫₀¹ S(t)dt

　V/2＝∫₀^1/√2 {4t√(1−t²)＋π−4f(t)}dt＋∫_1/√2¹ 4(1−t²)dt

　ここで、
　∫₀^1/√2 4t√(1−t²)＝−(4/3)[(1−t²)^3/2]₀^1/√2＝−(4/3){1/(2√2)−1}＝4/3−(√2)/3 、　
　∫₀^1/√2 πdt＝π/√2 、

　t＝sinθ (−π/2≦θ≦π/2) とおけば、dt＝cosθdθ だから、

　−∫₀^1/√2 4f(t)dt＝−∫₀^π/4 4θcosθdθ＝−[4θsinθ]₀^π/4＋∫₀^π/4 4sinθdθ
　 ＝−π/√2−[4cosθ]₀^π/4＝−π/√2−2√2＋4 、

　∫_1/√2¹ 4(1−t²)dt＝[4t−(4/3)t³]_1/√2¹＝4−4/3−2√2＋(√2)/3 、

　となって、
　V/2＝4/3−(√2)/3＋π/√2−π/√2−2√2＋4＋4−4/3−2√2＋(√2)/3＝4(2−√2) 、
　V＝8(2−√2) になります。


[解答2] 

　この領域をと平面 z＝t の共有部分は、
　x≦1−t² ，y≦1−t² ，x²＋y²≦1 だから、
　その面積を S(t) とすれば、xy平面上の正方形の１辺は 2√(1−t²) に注意すると、
　1/√2≦t≦1 のとき、S(t)＝4(1−t²) です。

　よって、この領域のうち、z≧1/√2 の部分の体積は、
　∫_1/√2¹ 4(1−t²)dt＝[4t−(4/3)t³]_1/√2¹＝4−4/3−2√2＋(√2)/3＝8/3−(5√2)/3 、
　|x|≧1/√2，|y|≧1/√2，|z|≧1/√2 の部分を全部合わせるとこれの６倍で、
　|x|＜1/√2 かつ |y|＜1/√2 かつ |z|＜1/√2 の部分を合わせて、
　体積は、 6{8/3−(5√2)/3}＋(√2)³＝16−10√2＋2√2＝8(2−√2) になります。

*熟読玩味ぃ...^^;〜

どんな立体になるのか興味あったので...探して見つけましたぁ♪

画像：http://katabamia.exblog.jp/17250211/ より  拝借  Orz〜

*こんなイメージはなかなか捕まえられないです...^^;...

5257：小数点第2位の四捨五入...

問題5257・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

ある分数 ア があります。

 いま、 ア を３.４倍（＝１７／５倍）して小数第２位を四捨五入すると、

１＋ ア ×３ と等しくなるそうです。

 このとき、分数 ア として考えられるものの中で、最も大きいものを求めてください。

 

注・・・答えは仮分数で求め、例えば「７分の１１」であれば、「11/7」と表記してください。

解答

上記サイトより Orz〜

・鯨鯢(Keigei) さんのもの Orz〜

10倍して、34×ア の小数部分を四捨五入すると 10＋30×ア 、 
従って、整数イを使って、ア＝イ/30 と表されます。 
9.5＋30×ア≦34×ア＜10.5＋30×ア だから、 
9.5≦4×ア＜10.5 、2.375≦ア＜2.625 、2.375≦イ/30＜2.625 、71.25≦イ＜78.75 、 
よって、ア＝72/30，73/30，74/30，75/30，76/30，77/30，78/30 、 
約分して、ア＝12/5，73/30，37/15，5/2，38/15，77/30，13/5 です。


・XXXさんのもの Orz〜

１＋ア×３＝ア×３.４の小数第２位を四捨五入した数 
　　　　　↓ 
１＝ア×０.４の小数第２位を四捨五入した数 
　　　　　↓ 
１＝１.０４の小数第２位を四捨五入した数 
　　　　　↓ 
１.０４÷０.４＝２．６ 

よって、１３/５になりました。 


・わたしの...

x*(17/5)<1+3*x+0.05

x=m/30 の形になるはず...

17*x<1.05*5+15*x

x<5.25/2=525/200=105/40=21/8=630/240=(630/8)/30

>78/30=13/5