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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2012年08月25日

2012年8月24日 | 2012年8月26日

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5263：角の３等分線...

問題5263・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz～

解答

上記サイトより Orz～

*華麗～だ♪

・ma-mu-ta さんのもの Orz～

・なかさんのもの Orz～

・たけちゃんさんのもの Orz～＆なかさん提供図 Orz～

三角形ABCの内角について，∠A=2∠Bが容易にわかる．
辺AB上にBP=CPとなる点Pをとると，
∠CPA=2∠B=∠Aより，CP=CA.

BPを2:1に外分する点をQとして，
Pは三角形BCQの外心，BQは外接円の直径より，
CQ⊥BC,したがってCQ//AD.

これより，BD:DC=BA:AQ=5:1.6=25:8 であるから，
DC=(8/25)BD.

*いずれもシンプルで美しいなぁ☆

わたしゃ気づけず...撃沈の憂き目...^^;...

5262：余り...多項式...

問題5262・・・筋肉の申し子さんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/muscle_creater_type02/6914169.html より Orz～

解答

・わたしの

x=1 は g(x)=0 の解じゃない... 

(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^6-1 

よって...x^12-1=g(x)*h(x) 

x^12=g(x)*h(x)+1 

g(x^12)=(g(x)*h(x)+1)^5+...+1=g(x)*j(x)+6 から... 

余り=6

♪

「ちなみに参考書の解答

g(x)=(x+1)(x^4+x^2+1)

g(x^12)=g(x)*Q(x)+R(x)=(x+1)(x^4+x^2+1)Q(x)+R(x)

したがってg(x^12)をg(x)で割った余りと、

(x+1)で割ったあまりはともに定数項である。　」

ってのを解釈してみた...^^;...Orz...

Q(x) は4次式以下で...(x+1)で割れるので...0次式=定数項ってわかるって寸法か...な？

つまりは... g(x^12)=(x^12)^5+(x^12)^4+(x^12)^3+(x^12)^2+(x^12)+1へ...x=-1 を代入したときの定数項だということで...g(1)=6 ...なら...確実に簡単ね ☆

　↑

Q(x) はR(x) のミスでしたぁ...^^;...

uch*n*anさんご指摘グラッチェです～Orz～

・やどかりさんの解法です♪　勝手ながら...ご紹介～m(_ _)m～

　↓

g(x)＝x^5＋x^4＋x^3＋x^2＋x＋1
g(x^12)＝(x^12)^5＋(x^12)^4＋(x^12)^3＋(x^12)^2＋(x^12)＋1

(x－1)g(x)＝x^6－1 より x^6≡1 (mod g(x)) よって x^12≡1 (mod g(x))
g(x^12)≡g(1)＝6 (mod g(x)) だから、
g(x^12) を g(x) で割った余りは 6 です。

*さすがにスマートね☆

*同じく畏友 uch*n*anさんの解法のご紹介をば～m(_ _)m～

　↓

g(1) = 6 なので
g(x) = (x - 1)h(x) ＋ 6
g(x^12) = (x^12 - 1)h(x^12) ＋ 6 = (x^6 - 1)(x^6 ＋ 1)h(x^12) ＋ 6
x^6 - 1 = (x - 1)g(x) なので
g(x^12) = ((x - 1)(x^6 ＋ 1)h(x^12))g(x) ＋ 6
そこで，余りは 6。

*さすがに...これまたスマートね☆...Orz～

5261：平方数...上3桁の数字が同じ...

問題5261・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31028129.html より Orz～

６桁の平方数 317²，318²，319²，320²，321²，322²，……，998²，999² を小さい順に並べ、

　100489，101124，101761，102400，103041，103684，……，996004，998001 のように、

　隣り合う数の上３桁が等しいものにアンダーラインをつけます。

　このとき、アンダーラインのついた最後の数は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31100524.html より Orz～

　n＝317，318，319，320，321，322，……，998，999 において、
　n²＝(n－500＋500)²＝(n－500)²＋1000(n－500)＋250000＝(n－500)²＋1000n－250000 だから、

　n² の上３桁を a_n とすれば、 a_n＝[(n－500)²/1000]＋n－250 です。

　a_n－a_n-1＝{[(n－500)²/1000]＋n－250}－{[(n－501)²/1000]＋n－251}
　＝[(n－500)²/1000]－[(n－501)²/1000]＋1

　よって、n≧501 のとき、a_n－a_n-1≧1 になります。

　n≦500 のとき、a_n＝a_n-1 とし、
　[(500－n)²/1000]＋1＝[(501－n)²/1000]＝k とおきます。

　これを満たすのは、(501－n)² が 1000k 以上の最小の平方数であればよいから、
　501－n＝－[－√(1000k)] 、n＝501＋[－√(1000k)] です。

　従って、その最後のものは、
　n＝501＋[－√1000]＝501－32＝469 ，n²＝469²＝219961 です。

　ちなみに、その前の組の後の方の数は、
　n＝501＋[－√2000]＝501－45＝456 、n²＝456²＝207936 です。　

[参考]

　n≧501 のとき、a_n－a_n-1≧1 になり、a_n＞a_n-1 です。

　n≦500 のとき、a_n－a_n-1＝0 または 1 です。

　従って、317²＝100489 から 500²＝250000 までには、
　上３桁が 100 ～ 250 のすべての 151 種類になり、 317 ～ 500 は 184 個だから、
　33ヶ所でダブっていることになります。

　また、(n＋2)²－n²＝4(n＋1)≧4(317＋1)＞1000 だから、
　３個が連続で、等しくなることはありません。

　従って、アンダーラインは隣り合った 33組(66個)につくことになります。

・uch*n*anさんのもの Orz～

a を 0 以上の整数とします。
(500 + a)^2 = 250000 + 1000a + a^2 で a が 1 増えると 1000 以上増えるので，不可。
(500 - a)^2 = 250000 - 1000a + a^2 で a が 1 増えると，- 1000a は 1000 小さくなるので，
a^2 > 1000 となる最初の a に対する (501 - a)^2 が求めるもので，この a は 32 です。
実際，(500 - 32)^2 = 468^2 = 219024，469^2 = 219961 となって，219961 になります。

ちなみに，それ以外は，a^2 > 2000，a^2 > 3000，… となる a なので容易に求められます。
一般には a^2 >= 1000 の倍数，と等号が入ります。
すると，私の解法では，a(n) を 500 - a(n) が題意の小さい方から n 番目，として，
(500 - a(n))^2 と (501 - a(n))^2，a(n) = - [- √(1000(34 - n))]，n = 1, 2, ..., 33
となります。[ ] の中に - を付けてさらに外にも - を付ける一見奇妙な式は，
この = が入る処理に対応しているんですね。
[解答]と比較すると，n <---> 501 - a(n)，k <---> 34 - n，になっていますね。

*面白い問題だったけど...けっきょくわからず...n<=499 しか出せず...^^;

mod 1000 だから...(500-m)^2 と置いて...m^2/1000 で考えればよかったのね♪

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