アットランダム≒ブリコラージュ

5273：体積...正二十面体...

問題5273・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31088113.html  より Orz〜

　図のように正八面体の各辺上の１点ずつを頂点とする正二十面体を作ることができます。
　さて、１辺が６の正二十面体の体積は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31153806.html  より Orz〜

[解答1]

　まず、正二十面体の１辺をａ，もとの正八面体の１辺をｂとすると、
　正二十面体の頂点は、１辺を a/√2 と b−a/√2 に分けることになります。

　余弦定理より、(b−a/√2)²＋(a/√2)²−2(b−a/√2)(a/√2)cos60ﾟ＝a² 、
　簡単にして 2b²−(3√2)ab＋a²＝0 、(b√2−3a/2)²＝5a²/4 、

　ここで、b−a/√2＞a/√2 だから b√2＞2a 、b√2−3a/2＝(a√5)/2 、b＝a(3＋√5)/(2√2) です。

　また、１辺がｂの正四角錐の体積をＶとすれば、V＝(1/3)b²･b/√2＝b³/(3√2) です。

　次に、１つの頂点で取り除く部分の半分は、底面を直角二等辺三角形として、
　(1/3)(1/2)(a/√2)²･(b−a/√2)/√2＝a²(b−a/√2)/(12√2) です。

　したがって、正二十面体の体積は、

　2･b³/(3√2)−12･a²(b−a/√2)/(12√2)
　 ＝2a³(3＋√5)³/(2√2)³/(3√2)−12･a²{a(3＋√5)/(2√2)−a/√2}/(12√2)
　 ＝a³(72＋32√5)/48−a²{a(3＋√5)/(2√2)−2a/(2√2)}/√2
　 ＝a³(9＋4√5)/6−a³(1＋√5)/4＝5(3＋√5)a³/12

　本問では a＝6 だから、正二十面体の体積＝5(3＋√5)･6³/12＝90(3＋√5) になります。


[解答2]

　[解答1]のように、正二十面体の１辺をａ，もとの正八面体の１辺をｂとすると、b＝a(3＋√5)/(2√2) です。

　また、正八面体の１つの面の正三角形の３つの頂点と正八面体の中心を結ぶ正三角錐において、
　正三角形を底面とするときの高さをｈとして、その体積を２通りの方法で表せば、
　{(√3)b²/4}h/3＝{(b/√2)²/2}(b/√2)/3 となって、h＝b/√6 、

　これが 正八面体にも正二十面体に内接する球の半径だから、正二十面体の体積は、
　20(1/3){(√3)a²/4}h＝(5/√3)a²(b/√6)＝5a²b/(3√2)＝5a³(3＋√5)/(2√2)/(3√2)＝5(3＋√5)a³/12

　本問では a＝6 だから、正二十面体の体積＝5(3＋√5)･6³/12＝90(3＋√5) になります。


[解答3] uch*n*anさんの正八面体を用いない別解(検算用)より

　正二十面体の一辺の長さを a とし，
　正二十面体を，上から，正五角すい，正五角柱をねじった立体，正五角すい，に分けます。

　すると，正五角形の外接円の半径 r とすれば，a＝2r･sin36ﾟ です。

　また，正五角柱をねじった立体の高さ h は，上下の正五角形の外接円の間の距離なので，
　h²＝a²−(2r･sin18ﾟ)²＝(2r･sin36ﾟ)²−(2r･sin18ﾟ)²＝4r²(sin²36ﾟ−sin²18ﾟ)

　ここで，正二十面体の外接球を考えると，その直径が 2r と h を辺とする長方形の対角線なので，
　半径を R として， (2R)²＝(2r)²＋h²＝4r²(1＋sin²36ﾟ−sin²18ﾟ)

　R²＝r²(sin²36ﾟ＋cos²18ﾟ)＝r²(sin²36ﾟ＋sin²72ﾟ)＝r²sin²36ﾟ(1＋4cos²36ﾟ)＝4r²sin²36ﾟ(1/4＋cos²36ﾟ)
　 ＝a²{1/4＋(1＋cos72ﾟ)/2}

　cos72ﾟ＝(√5−1)/4 を使って， R²＝(5＋√5)a²/8

　正二十面体の体積は，この外接球の中心と正二十面体の面の作る正三角錐 20 個分です。

　正三角形の重心と頂点の距離は，{(√3)a/2}(2/3)＝a/√3 なので，
　正二十面体の体積＝20(1/3){(√3)a²/4}√{R²−(a/√3)²}＝{(5√3)a²/3}√{(5＋√5)a²/8−a²/3}
　 ＝(5a³/12)√{6(5＋√5)−16}＝(5a³/12)√(14＋2√45)＝(5a³/12)(3＋√5)＝5(3＋√5)a³/12

　この問題では a＝6 なので，求める正二十面体の体積＝5(3＋√5)･6³/12＝90(3＋√5) になります。

☆ 90(3＋√5)＝471．24611…… です。

*わたしには...too hard...^^;...

空きっ腹まっしぐらのギョウザ...^^

眠い眠い晩に...遅い遅い飯を...^^;

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