アットランダム≒ブリコラージュ

OH MY GOHAN...^^

早弁の逆...遅弁...^^

恒例になってきたサービスタイムねらいの遅夜食♪

もう成長はとっくにしてないってのに...

若いときと同じくらいの量をとってしまうわたし...^^;

昼も検食食べたっていうのに...そんなの関係なし...?

食べようが欠食しようが...同じように空腹感がやってくるのって何故〜？

これだけのエネルギーは...どこに保存される？

内臓脂肪以外ないじゃんって!!

それをカレーで燃やさなきゃ...^^

明日は...カレーにするべ♪

それに引き換え...好きなときだけ食べて寝てる彼らなのに...

気品ある姿態をキープできてるのってのが不思議でならない ???

*宇宙食みたいな...キャットフードが理想的な食事なんだろかいなぁ...^^;...

but...わたしがこの優雅な?猫(飼い猫)よりもましなことの一つは...

毎日違うヒューマンフードにありつけることに気づけたぞぉ〜〜〜♪

5229：ヘロンの△...

問題5229・・・やどかりさんのブログ   http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30895389.html より Orz〜

x を自然数として、３辺の長さが 60，55，x である三角形の面積 S も自然数であれば、 x＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30950529.html  より Orz〜

　ヘロンの公式により、16S²＝(115＋x)(115−x)(x＋5)(x−5) が 16の倍数だから、x は奇数になります。

　16S²＝(115²−x²)(x²−5²) だから、 GCD(115²−x²，x²−5²)＝4g とすれば、
　互いに素な自然数 a，b を用いて、 115²−x²＝4ga² ，x²−5²＝4gb² と表されます。

　よって、115²−5²＝4g(a²＋b²) 、g(a²＋b²)＝3300 です。

　ここで、n² を ３で割った余りは n が３の倍数であれば 0 ，その他の場合は 1 だから、
　a²＋b² が３の倍数になるのは、a，b の両方が３の倍数のときで、
　互いに素な a，b に対しては３の倍数にはなりません。

　また、n² を 11で割った余りは n が11の倍数であれば 0 ，その他の場合は 1，4，9，5，3 だから、
　a²＋b² が11の倍数になるのは、a，b の両方が11の倍数のときで、
　互いに素な a，b に対しては11の倍数にはなりません。

　従って、g(a²＋b²)＝3300 より、 g は 33の倍数，a²＋b² は 100の約数です。

　以上により、(a，b，g) は次の９通りだけになります。

　(1，1，1650),(1，2，660),(2，1，660),(1，3，330),(3，1，330),(1，7，66),(7，1，66),(3，4，132),(4，3，132)

　x²＝4gb²＋25 だから、x²＝6625，10585，2665，11905，1345，12961，289，8473，4777 、
　x²＝289 のときだけ x＝17 (自然数) になります。


☆ このとき S＝462 ，2･462/60＝77/5 ，2･462/55＝84/5 ，2･462/17＝924/17 で、
　どの辺に対する高さも自然数にならない例です。

5228：803÷kの商の個数...小数点ポイ捨て...

問題5228・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

ある機械に数を入力すると、「８０３を入力された数で割った商の整数部分」が出力されます。

 例えば、この機械に２３を入力すると、８０３÷２３＝３４．９１・・・

の整数部分である「３４」が出力されます。

 

では、この機械に１から８０３までの８０３個の数を次々に入力していくとき、出力される整数は何種類あるでしょうか。　

解答

上記サイトより orz〜

・わたしの

√803=28.33...

つまり...

28^2 以外は...

a<28<b という a,b の積で表され...それらは 1:1 に対応しているので...(ここを厳密に言わなきゃいけないんだけど...直感です...^^;)

(28-1)*2+1=54+1=55

・hideさんのもの Orz〜

803÷27＝29.74　↑ここまでは商の差が1以上なので商の整数部分は重複が無く27種

803÷28＝28.68

803÷29＝27.69　↓以降は商の差が1未満なので商の整数部分は1〜27の27種

 

よって27+1+27=55

*そういうことになるわけね☆

で...1~27までは...29~803までのいずれかと対になってるはずなのよね？

・uchnyanさんのもの Orz〜

まずは，調べるという精神で，順番に割って整数部分を取り出してみます。

803/1= 803 -> 803，803/2 = 401.5 -> 401，803/3 = 267.66… -> 267，803/4 = 200.75 -> 200，803/5= 160.6 -> 160，．．．

これを見ると，どうも割った回数だけ異なる整数が出てくるように見えます。

しかし，いつまでもこれが続くかというとそうではなく，例えば，

803/30= 26.76… -> 26，803/31 = 25.90… -> 25，803/32 = 25.09… -> 25，803/33= 24.33… -> 24，803/34 = 23.61… -> 23，．．．

となって，同じ整数が出てくることもあります。

これはどうしてかというと，803/○ はいわゆる反比例のグラフを描くので，

○ がある程度大きくなると，803/○ の値自体はどんどん小さくなり，803/○ と 803/(○ + 1) の差もどんどん小さくなり，

この差が，隣り合う整数の差 1 より小さくなると同じ整数が出て来る可能性があるからです。

またこのとき，差が隣り合う整数の差より小さいのですから，当然ですが，すべての整数が現れます。

そこで，803/○ と803/(○ + 1) の差が最初に 1 より小さくなるような ○ を見つけてやれば，

○ 以下の数で割った場合には，割った数だけの異なる整数が現れ，

○ より大きな数で割った場合には，803/(○ + 1) の整数部分以下の正の整数がすべて現れます。

そこで，先程の計算より，このような ○ は 30 より小さくその付近と思われるので，その辺りで探してみると，

803/27= 29.74… -> 29，803/28 = 28.67… -> 28，803/29 = 27.68… -> 27，803/30= 26.76… -> 26，803/31 = 25.90… -> 25，．．．

となって，○ = 28 と思われます。実際，

803/27- 803/28 = 803/(27 * 28) = 803/756 > 1

803/28- 803/29 = 803/(28 * 29) = 803/812 < 1

で，○ は 28 に決定します。

そこで，出力される整数は 28 + 27 = 55 種類 になります。

 

数学としては，

803/○ - 803/(○ + 1) < 1，○^2 + ○ -803 > 0，○ > (- 1 + √3213)/2 = 27.84…，○ = 28

ですね。

*いつも懇切丁寧でありがたいです☆

・鯨鯢(Keigei) さんのもの Orz〜

[√(4・803＋1)]−1＝[√3213]−1＝56−1＝55 です。

 

[n/1]，[n/2]，[n/3]，[n/4]，……，[n/n] の整数は何種類かを求めます。

(k−1)k≦n を満たす最大の自然数 k について、

[n/1]＞[n/2]＞[n/3]＞……＞[n/(k−1)]＞[n/k] と [n/k] 未満の自然数すべての k＋[n/k]−1 種類の数が現れます。

ここで、(k−1)k≦n＜k(k＋1) だから、k−1≦n/k＜k＋1 、[n/k]＝k−1，k で、

(k−1)k≦n＜k^2 のとき [n/k]＝k−1 ，k^2≦n＜k(k＋1) のとき [n/k]＝k です。

(k−1)k≦n＜k^2 のとき、

(k−1)k≦n≦k^2−1 、(2k−1)^2≦4n＋1≦4k^2−3 、2k−1≦√(4n＋1)＜2k 、 [√(4n＋1)]＝2k−1 になります。

このとき、k＋[n/k]−1＝k＋(k−1)−1＝[√(4n＋1)]−1 です。

k^2≦n＜k(k＋1) のとき、

4k^2＋1≦4n＋1＜(2k＋1)^2 、2k＜√(4n＋1)＜2k＋1 、 [√(4n＋1)]＝2k になります。

このとき、k＋[n/k]−1＝k＋k−1＝[√(4n＋1)]−1 です。

従って、いずれの場合も、[√(4n＋1)]−1 種類です。

*熟読玩味ぃ〜♪