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k を定数として、３次方程式 x3−18x2＋5kx−9k−7＝0 の解がすべて整数のとき、k＝？
解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31271526.html より Orz〜
解を α，β，γ (α≦β≦γ)とすると、解と係数の関係により、
α＋β＋γ＝18，βγ＋γα＋αβ＝5k，αβγ＝9k＋7 になり、 αβγ＝9(βγ＋γα＋αβ)/5＋7 、
(α−9/5)(β−9/5)(γ−9/5)＝81(α＋β＋γ)/25−729/125＋7 、
(5α−9)(5β−9)(5γ−9)＝81･18･5−729＋875＝7436＝22･11･132 になります。 ここで、5･(整数)−9 で表される数は、正の数なら１の位が 1，6 、負の数なら１の位が 4，9 です。 7436 の約数で、この条件を満たすのは、1，11，26，286，676，7436，−4，−44，−169，−1869 で、 (5α−9)＋(5β−9)＋(5γ−9)＝5(α＋β＋γ)−27＝5･18−27＝63 に注意すると、 5α−9＝11，5β−9＝26，5γ−9＝26 だけが適し、α＝4，β＝7，γ＝7 で、解は 4，7(重解) です。 よって、9k＋7＝αβγ＝196 より、k＝21 になります。 *式変形ができなかったぁ...^^;
わたしのいい加減な解法...
x^3−18x2＋5kx−9k−7＝0
f(x)=x^3−18x^2＋5kx−9k−7 f'(x)=3x^2-36x+5k=3(x-6)^2+5k-108 f'(x)=0...3(x-6)^2=108-5k>=0...21>=k>=0 (x-6)^2=1,4,9,16,25,36 3*1=108-5*21...x=7...k=21 3*16=108-5*12...x=22...k=12 3*36=108-5*0...x=32...k=0 それぞれの場合で運良くあればいい...^^; x^3-18x^2+105x=9*21+7=196
x(x^2-18x+105)=196 x((x-9)^2+24)=196=1*196=2*98=4*49=7*28 ...(x-4)(x-7)^2=x^3-18x^2+105x-196...ビンゴ♪ x^3-18x+60x=9*12+7=115 x(x^2-18x+60)=115 x(((x-9)^2-21)=1*115=5*23...なし x^3-18x^2=7 x^2(x-18)=7=1*7...なし つまり...k=21 のとき...x=4,7,7 で満たすのね☆ but...これ以外ないことはいえなてない...Orz... |
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