アットランダム≒ブリコラージュ

log関数でのお遊び...^^

何か問題が作れないかと...^^

ln(n!)=π

ln(n!)=n

ln(n!)=e

lin(n!)=e^e

ln(n!)=e^π

ln(n!)=π^e

もうしつこいから止めますね...^^;

n の解が2〜5個のときの右辺の値ってのは求まるんだろか...^^;...?

ちなみに...

line=n!

lin(e!)=n!

linπ=n!

lin(π!)=n!

Γ関数ってのが使われてるようで...面白そうだけどよくわからん...^^;...Orz〜

5310：△(60°,45°)内の線対称な凸五角形...

問題5310・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31264360.html  より Orz〜

　∠B＝60ﾟ，∠C＝45ﾟ の △ABC があり、図のように、線対称な五角形２つに分けます。
　このとき、凸五角形の方の面積を S として、S/△ABC＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31303645.html  より Orz〜

[解答1]

　凸五角形の頂点を A，D，E，F，C とし、AD の延長と BC の交点を H とします。

　∠CAD＝∠ACF＝45ﾟ 、∠BFD＝∠BAD＝75ﾟ−45ﾟ＝30ﾟ で、∠B＝60ﾟ だから AH⊥BC 、
　∠FHE＝∠DHE＝45ﾟ です。

　AB＝2 とすれば、BH＝1，AH＝HC＝√3，BF＝2 なので、HF＝1 になります。

　△EHF で、HF を底辺とすれば、高さは 1/(√3＋1)＝(√3−1)/2 だから、△EHF＝(√3−1)/4 、
　S＝△AHC−2△EHF＝3/2−(√3−1)/2＝(4−√3)/2 になり、
　△ABC＝△AHC＋△ABH＝(3＋√3)/2 だから、
　S/△ABC＝{(4−√3)/2}/{(3＋√3)/2}＝{(4−√3)(3−√3)}/{(3＋√3)(3−√3)}＝(15−7√3)/6 です。


[解答2]

　A から BC への垂線の足を H とし、凸五角形の頂点を A，D，E，F，C とします。

　AB＝2 とすれば、BH＝1，AH＝HC＝√3，AC＝√6 です。

　２つの五角形の対称性より、
　FC＝DA＝EF＝ED ，∠DEF＝∠EDA＝∠EFC＝180ﾟ−∠EFB＝180ﾟ−∠DAB＝180ﾟ−30ﾟ だから、
　外角が 30ﾟ の正多角形である正十二角形の一部として、凸五角形をとらえれば、
　この外接円は AC＝√6 を１辺とする正三角形の外接円で、その半径は √2 、
　S＝4{(√2)²sin30ﾟ}/2−{(√2)²sin120ﾟ}/2＝(4−√3)/2 になり、
　△ABC＝△AHC＋△ABH＝(3＋√3)/2 だから、
　S/△ABC＝{(4−√3)/2}/{(3＋√3)/2}＝{(4−√3)(3−√3)}/{(3＋√3)(3−√3)}＝(15−7√3)/6 です。

＊やどかりさんのコメントより Orz〜

もっと簡単な図形で、対称な四角形２つに分割したものを見たことがあります。
それをヒントにこの形を考えました。
なお、出題時に、uch*n*anさんへのリコメに書きましたが、
この図を線対称な２つの多角形に分けるとき、
ＡからＣへと凸多角形を作っていくときは、Ａを 45ﾟと30ﾟに分けることになりますが、
360ﾟ/30ﾟ＝12，2･45ﾟ/30ﾟ＋2＝5 で、正12角形の一部の凸5角形になり、
ＡからＢへと凸多角形を作っていけば、Ａを 60ﾟと15ﾟに分けることになりますので、
360ﾟ/15ﾟ＝24，2･60ﾟ/15ﾟ＋2＝10 で、正24角形の一部の凸10角形になり、
ＢからＣへと凸多角形を作っていけば、Ｂを 45ﾟと15ﾟに分けることになりますので、
360ﾟ/15ﾟ＝24，2･45ﾟ/15ﾟ＋2＝8 で、正24角形の一部の凸8角形になります。

*熟読玩味ぃ〜^^;...

*美しい意匠の問題で楽しかったですね♪

ちなみにわたしは解答１に気づけたのでラッキー ^^v

AB=2 とする...
(1-x)/√3=x...x=(√3-1)/2
△ABC=(√3+1)*√3/2=(3+√3)/2
S=(√3)^2-x=3-(√3-1)/2=(4-√3)/2

S/△ABC=(4-√3)/(3+√3)=(15-7√3)/6