アットランダム≒ブリコラージュ

5288：平面の点の塗り分け...

問題5288...たけちゃん さん提示問♪

平面の各点に色を付けて，距離1である2点は違う色になるようにするには，何色あればいいのか？

解答

・たけちゃんさんの想定解 Orz〜

「3色では不可能である」
3色でできたとする．
正三角形の3頂点はすべて違う色となるので，
正三角形を2つくっつけてできるひし形を考えると，
距離が√3である2点は同じ色に限る．
ここで，AB=1,BC=CA=√3である三角形を考えると，
A,BはともにCと同じ色より，AとBは同じ色となり，矛盾が生じた．

「7色あれば可能である」
1辺の長さ1/2の正六角形を平面に敷き詰める．
ただし，各六角形は，上下に頂点がある向きとし，
境界は，右半分，左半分，上の頂点，下の頂点とも含まないとする．
横に並ぶ各六角形に順にA,B,C,D,E,F,G の順に繰り返す色付けをし，
その上の段は，C,D の間の上をAとして，同じ順に色付けをする．
このパターンの繰り返しは，条件を満たしている．

・わたしのいい加減なもの...^^;...

*けっきょく...同じく少なくとも７色いりそうですねぇ...^^;...?

5287：正三角形の個数...

問題5287・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31164698.html  より Orz〜

図のように、１辺が 15cm の正三角形の頂点と辺上に 1cm 毎に全部で 45 個の点が配置されています。
このうちの３点を頂点とする正三角形全部の面積の和は、１辺が 1cm の正三角形の面積の何倍？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31225240.html  より Orz〜

　一般化して、もとの正三角形の１辺を n(cm) とします。(点は全部で 3n 個です)

　また、Σは k＝1，2，3，……，n−1 のときの和を表すことにします。

　１辺が 1cm の正三角形の面積を S(cm²)，もとの正三角形の頂点を A，B，C とします。

　辺BC，CA，ABの途中の点をそれぞれP，Q，Rとします。

　まず、△ABC/S＝n² です。

　次に、△ARQが正三角形になるのは、AR＝AQ＝k (k＝1，2，3，……，n−1) のときで、
　△ARQ/S＝k² ，Σ△ARQ/S＝Σk²＝(n−1)n(2n−1)/6 で、
　同様に、Σ△BPR/S＝(n−1)n(2n−1)/6 ，Σ△CQP/S＝(n−1)n(2n−1)/6 です。

　更に、△PQRが正三角形になるのは、BP＝CQ＝AR＝k (k＝1，2，3，……，n−1) のときで、
　PC＝QA＝RB＝n−k になるから、△PQR/S＝n²−3･k(n−k)＝3k²−3nk＋n² 、
　Σ△PQR/S＝Σ(3k²−3nk＋n²)＝(n−1)n(2n−1)/2−3n･(n−1)n/2＋n²(n−1)
　 ＝{(2n−1)−3n＋2n}(n−1)n/2＝(n−1)²n/2
　
　したがって、全ての正三角形の面積の総和を T とすれば、
　T/S＝n²＋3･(n−1)n(2n−1)/6＋(n−1)²n/2＝n(3n²−3n＋2)/2 です。

　本問は n＝15 のときで、T/S＝15(3･15²−3･15＋2)/2＝4740 、4740倍です。

*そっかぁ...斜めの正三角形の出し方をややこしく考えすぎちゃいました...^^;

ちなみに...わたしの...↓

3*(1^2+2^2+3^2+...+13^2+14^2)+15^2・・・(1)
2*Σ[1~7] (15^2-3*(k*(15-k))・・・(2)

(1)=3*(14*15*29/6)+15^2=3270
(2)=2*(7*15^2-3*(15*7*4-7*8*15/6))=1470

(1)+(2)=3270+1470=4740

5286：線分の長さ...台形...

問題5286・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org  より Orz〜

図のような、ＡＤとＢＣが平行な台形ＡＢＣＤがあり、ＡＣ＝５cm、ＢＣ＝４cm、ＡＤ＋ＢＤ＝６cmとなっています。また、∠ＡＤＢ＋２×∠ＢＤＣ＝１８０°となっています。

 

このとき、ＢＰの長さ（図中の？の長さ）は何cmであるか求めてください。

解答

・わたしの...