5293：面積...垂心...

問題5293・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31187632.html  より Orz〜

　△ABC の垂心を H として、辺ABと直線CHの交点をD，辺ACと直線BHの交点をE とすれば、
　AD：DB＝29：96 ，AE：EC＝5：24 になるとき、 △HBC の辺の比、HB：BC：CH＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31237808.html  より Orz〜

　AD＝29a ，DB＝96a ，AE＝5b ，EC＝24b とします。

　CD²＝BC²−BD²＝AC²−AD² だから、
　BC²＝BD²＋AC²−AD²＝(96a)²＋(29b)²−(29a)²＝8375a²＋841b² 、
　BE²＝BC²−CE²＝AB²−AE² だから、
　BC²＝CE²＋AB²−AE²＝(24b)²＋(125a)²−(5b)²＝15625a²＋551b² 、
　よって、8375a²＋841b²＝15625a²＋551b² 、290b²＝7250a² 、b²＝25a² です。

　AE＝25a ，EC＝120a 、BC²＝8375a²＋841b²＝29400a² になります。

　CD²＝BC²−BD²＝29400a²−(96a)²＝20184a² 、
　BE²＝BC²−CE²＝29400a²−(120a)²＝15000a² 、
　従って、BE²：BC²：CD²＝15000a²：29400a²：20184a²＝625：1225：841 、

　BE：BC：CD＝25：35：29 になります。

　次に、メネラウスの定理より、

　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、BH＝(4/5)BE 、
　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、CH＝(25/29)CD 、

　よって、HB：BC：CH＝25･4/5：35：29･25/29＝20：35：25＝4：7：5 です。


[解答2]

　AD＝29a ，DB＝96a ，AE＝5b ，EC＝24b とします。

　D，E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、
　AD･AB＝AE･AC 、29a･125a＝5b･29b 、b＝5a になり、AE＝25a ，EC＝120a になります。

　従って、

　BE＝√(AB²−AE²)＝√{(125a)²−(25a)²}＝50a√6 、
　BC＝√(BE²＋EC²)＝√{(50a√6)²＋(120a)²}＝70a√6 です。

　ここで、

　△BHD∽△BAE より BH：BA＝BD：BE 、BH：125a＝96a：50a√6 、BH＝40a√6 、
　△CHE∽△BAE より CH：BA＝CE：BE 、CH：125a＝120a：50a√6 、CH＝50a√6 、

　よって、HB：BC：CH＝40a√6：70a√6：50a√6＝4：7：5 です。


[解答3]

　メネラウスの定理より、

　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、
　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、
　よって、CH＝25a ，HD＝4a ，BH＝4b ，HE＝b とおくことができます。

　また、D，E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、
　HC･HD＝HB･HE 、25a･4a＝4b･b 、b＝5a になり、BH＝20a ，HE＝5a になります。

　BC²＝CD²＋DB²＝CD²＋BH²−HD²＝(25a＋4a)²＋(20a)²−(4a)²＝1225a² 、 BC＝35a です。

　よって、HB：BC：CH＝20a：35a：25a＝4：7：5 です。


[解答4] 座標を使うと

　メネラウスの定理より、

　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、
　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、
　D は CH を 29：4 に、E は BH を 5：1 に、それぞれ外分する点になります。
　a＞0 として、B(−a，0)，C(a，0)，H(p，q) とおけば、D((29p−4a)/25，29q/25)，E((5p＋a)/4，5q/4) です。

　D，E 円 x²＋y²＝a² 上にあるから、

　(29p−4a)²/625＋(29q²)/625＝a² ，(5p＋a)²/16＋(5q)²/16＝a² 、
　(29p−4a)²＋(29q²)＝625a² ，(5p＋a)²＋(5q)²＝16a² 、
　29(p²＋q²)−8ap＝21a² ，5(p²＋q²)＋2ap＝3a² 、

　これを解けば、p²＋q²＝33a²/49 ，p＝−9a/49 です。

　HB＝√{(p＋a)²＋q²}＝√(p²＋q²＋2ap＋a²)＝√(33a²/49−18a²/49＋a²)＝8a/7 、
　HC＝√{(p−a)²＋q²}＝√(p²＋q²−2ap＋a²)＝√(33a²/49＋18a²/49＋a²)＝10a/7 、

　よって、HB：BC：CH＝8a/7：2a：10a/7＝4：7：5 です。


[解答5] たけちゃんさんの解答より(詳しく書きました)

　∠CAB＝A，∠ABC＝B，∠BCA＝C と書くことにします。

　垂心が内部より，△ABCは鋭角三角形で，

　tanB：tanA＝(DC/BD)：(DC/AD)＝AD：BD＝29：96 ，
　tanC：tanA＝(EB/CE)：(EB/AE)＝AE：CE＝5：24＝20：96 。

　従って，tanA＝96k，tanB＝29k，tanC＝20kとおけます。

　次に，A＝π−B−C だから，tanA＝−tan(B＋C)＝−(tanB＋tanC)/(1−tanBtanC) ，
　tanA(1−tanBtanC)＝−(tanB＋tanC) ，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC ，
　96k＋29k＋20k＝96k･29k･20k ，145＝96･29･20k² ，k²＝1/384を得ます。

　HB²：BC²：CH²＝sin²∠BCH：sin²∠BHC：sin²∠CBH＝cos²B：sin²A：cos²C
　 ＝1/(1＋tan²B)：1/(1＋1/tan²A)：1/(1＋tan²C)＝1/(1＋29²/384)：1/(1＋384/96²)：1/(1＋20²/384)
　 ＝384/(384＋29²)：96²/(96²＋384)：384/(384＋20²)＝1/1225：24/9600：1/784＝1/1225：1/400：1/784

　HB：BC：CH＝1/35：1/20：1/28＝4：7：5 です。

・uch*n*anさんのもの Orz〜

AD：DB = a：b，AE：EC = c：d，それぞれの比例定数を x，y とすると，
AD = ax，DB = bx，AE = cy，EC = dy と書けます。
△ABE ∽ △ACD より，AB：AE = AC；AD，a(a + b)x^2 = c(c + d)y^2
△BHD ∽ △CHE より，HB：HC = BD；CE = bx：dy
ここで，比を考えるので，
改めて，HB = bx，CH = dy，x^2 = c(c + d)，y^2 = a(a + b)，として十分です。
さらに，∠DAE + ∠DHE = 180°なので，
cos(∠BHC) = cos(∠DHE) = - cos(∠DAE) = - cos(∠DAC) = - ax/(c + d)y
がいえるので，余弦定理を使って，

BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 * HB * HC * cos(∠BHC) 
= (bx)^2 + (dy)^2 - 2(bx)(dy)(- ax/(c + d)y) 
= b^2x^2 + d^2y^2 + 2abd/(c + d) * x^2
= b^2c(c + d) + d^2a(a + b) + 2abd/(c + d) * c(c + d)
= (bc)^2 + (bc)(bd) + (ad)^2 + (ad)(bd) + 2(ad)(bc)
= (bc + ad)((bc + ad) + bd)
これより，
HB：BC：CH = b√(c(c + d))：√((bc + ad)((bc + ad) + bd))：d√(a(a + b))
となります。

この問題では，a = 29，b = 96，c = 5，d = 24 なので，
HB：BC：CH 
= 96√(5(5 + 24))：√((96 * 5 + 29 * 24)((96 * 5 + 29 * 24) + 96 * 24)))：24√(29(29 + 96))
= 96√(5 * 29)：√(24 * 49 * 24 * 145)：24√(29 * 125) 
= (4 * 24√5)：(7 * 24√5)：(5 * 24√5) 
= 4：7：5
になります。

*解法2に気づきたかったなぁ☆

わたしゃ...解法１と同じだけど...

Hが垂線を分ける比を出すのが面倒でしたぁ...メネラウスの定理いまだ使いこなせず...^^;...

ちなみにわたしの...

　↓

125^2-(5)^2+(19^2=BC^2=(19)^2-29^2+96^2
(1)=5 とわかり...