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次の関係をみたす n の値を求めよ。φ はオイラーの関数を表す。
(i) φ(n) = 12
(ii) φ(n) = φ(2n)
(iii) φ(3n) = φ(4n) = φ(6n)
*オイラー関数の値は n と互いに素な約数の個数(1を含む)... φ(15)={1,2,4,7,8,11,13,14}=8=φ(3)*φ(5)=2*4 のようになっている...3と5のように互いに素の場合...
(乗法的)
φ(4)={1,3}=2^2-2=2 のように...φ(p^k)=p^k-p^(k-1)...これは偶数!!
解答
上記サイトより Orz〜
(i)
12 = 1·2·2·3 または12 = 2·2·3 として、
3以上の素数p についてφ(pj) = pj −pj−1 は偶数になることと
2 = φ(3) = φ(6) = φ(4) 、6 = φ(7) = φ(9)を考え合わせると、
まず明らかな φ(13) = 12 が挙げられ、
ついで、12 = φ(4)φ(9) 、12 = φ(4)φ(7) 、12=φ(6)φ(7)
さらに、 12 = φ(2)φ(3)φ(7) かまたは 12 = φ(3)φ(7)だけが可能である。
*互いの素な数同士の積ってことね...
ゆえに n = 13, 21, 28, 36, 42 となる。
(ii)
n = 2^k*h (h は奇数) とおく。
このとき、φ(n) = φ(2^k)φ(h), φ(2n) =φ(2^(k+1))φ(h) であるから、
φ(n) = φ(2n) が成り立つのは k = 0 のとき、すなわち、n が奇数のときである。
*φ(2)=1だからですね...
φ(3n) = φ(6n) であるから (ii) の解答より、n は奇数である。すると、φ(4n) = 2φ(n) となる。ところで、n = 3^k*h (3, h)=1 とすると、φ(3n) = φ(3^(k+1))φ(h)かつ φ(4n) = 2φ(3^k)φ(h) でこれらが等しいから、k = 0 が得られる。逆に (3, n)=1 でかつ n が奇数ならば φ(3n) = φ(4n) = φ(6n) が成り立っていることを確かめるのは容易である。
*難しいなぁ...熟読玩味ぃ〜^^;
・鍵コメT様の解説 Orz〜
(iii)
一般に，素数pに対して，φ(pn)は，
nがpの倍数のとき，pφ(n)，nがpの倍数でないとき，(p-1)φ(n)となります． φ(3n)=φ(6n)から，3nは奇数，したがってnは奇数です． これより，φ(4n)=2φ(n)． 一方，φ(3n)は，nが3の倍数のとき3φ(n)，nが3の倍数でないとき2φ(n)なので， これが2φ(n)と等しくなるのはnが3の倍数でないときですね． *なるほど☆ |
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コメント（1）
