|
問題
ここに 1〜n 個の鍵と、それぞれに対応する鍵穴が n 個ある。
すべての鍵を同時に鍵穴に差し込むと美女の待っている部屋に入れます。
しかし、その部屋に入れるための鍵の数が一番少なかった者にしか美女は微笑みません。
つまり、n > k 個の鍵だけで部屋に入れるってわけです。
さて、美女に見事微笑まれるには=その k 個の鍵を見つけるにはどうしますか？
十日の菊ですが...今日、録画してたNHKのサイエンスZERO の iPS細胞(人工多能性幹細胞（induced Pluripotent Stem cell：iPS細胞）)の作成法の発見で去年ノーベルプライズ受賞された山中教授の番組観てて、ここが大きなブレークスルーだったようなんですね !! 高橋さんって共同研究者が閃いて山中４因子と呼ばれる初期化遺伝子を見つけることができたようです☆
山中先生は謙虚で、その辺りも含めて自らの受賞を”便乗受賞"って謙遜して呼ばれてた !!
*詳しくは上記サイト参照 Orz〜
http://ja.wikipedia.org/wiki/人工多能性幹細胞 より Orz〜
「「iPS細胞」という名前は、山中教授自身が命名したもので、最初を小文字の「i」にしたのは、当時世界的に大流行していた米アップルの携帯音楽プレーヤーである『iPod』のように普及してほしいとの願いが込められていると言われているが、最初のinducedを小文字にしているのはPS細胞の一系統ということが分かりやすいように慣例に基づいて名付けたもので、山中教授がそう答えた背景には、本当のお固い真面目な理由ではなく、冗談で記者を和ませようとした山中教授のユーモアセンス溢れる人柄によるものと思われる[独自研究?]。」
普通に考えたら...nC1+nC2+...+nCn=2^n 回トライ＆エラーを繰り返さなきゃ無理な気がしませんか？
その可能性のある遺伝子の数は23個だったらしい...
で...23個すべて放り込めばリプログラミング可能。
で...どの1個だけじゃ無理だった。
どうするだろうか...?
ヒントは、必要最低限の遺伝子がすべて揃ってないと初期化は起こらないってところ。
ノックアウトマウスって発想がある。
http://ja.wikipedia.org/wiki/ノックアウトマウス より Orz〜
「ノックアウトマウス（英:knockout mouse）は、遺伝子ノックアウトの技法によって1個以上の遺伝子が無効化された遺伝子組換えマウスである。塩基配列は解明されているが機能が不明な遺伝子の研究において、ノックアウトマウスは重要なモデル生物である。マウスの特定の遺伝子を不活性化させ、正常のマウスとの行動や状態を比較することで、研究者はその遺伝子の機能を推定することができる。マウスは現時点では、遺伝子ノックアウト技法の適用が容易な動物の中で、もっとも人間に近い。これらは遺伝子ノックアウト実験に幅広く使用されており、とりわけ人間の生理機能に関連した遺伝子研究に使われる。ラットでの遺伝子ノックアウトはより難しく、2003年に成功したばかりである。最初のノックアウトマウスは、1989年、マリオ・カペッキ、マーティン・エヴァンズ、オリヴァー・スミティーズらによって作り出された。これによって彼らは2007年のノーベル生理学・医学賞を受賞している。ノックアウトマウスを生成する方法と、マウス自身について、多くの国で私企業に特許が与えられている。」
まさにこいつに気づかれたのね ☆
つまり...1〜n 個の鍵の1個だけ抜いて部屋に入れるかどうかを試したわけ。= n 回 でわかる !!
けっきょく、n 回で 必要最小限の鍵の数 k 種類を見つけ、目出たく部屋のドアを開け美女からの熱い抱擁を受けることができたってわけ♪
実際に必要な遺伝子の数は、たったの４個だったので世界中の研究者が驚愕したらしい ^^
ふと思ったんだけど...がん細胞って...一種の初期化された状態だと？
実際に、がん化しやすいことも報告されてる...
癌化遺伝子をこれと同じ作業で見つけられそうだけどなぁ...?
で。マルチヒットで癌化が起こるとされてるわけだから...複数の癌化遺伝子がすべて揃わなきゃ起こらないってことだから...まるで、iPS細胞ができる過程と同じ!!
それらの１つか複数個の遺伝子活性が抑えられれば癌化はしないってことになり...
iPS細胞の臨床応用と平行して癌の抑圧は可能になりそうな予感☆ |
過去の投稿日別表示
[ リスト | 詳細 ]
2013年01月15日
コメント（0）
|
「チェス史上最高の天才の一人といわれるホセ・ラウル・カパブランカは１８８８年１１月１９日
ハバナで生まれ１９２１年から１９２７年まで世界チャンピオンの座にありました。４才にならない頃、
彼は父親がその友人と遊んでいるチェスを見ながらルールを覚えてしまったといいます。・・・」
*まるでガウスじゃん!!...羽生さんじゃん!!
「インド式チェスの達人から２１歳の時に西洋のチェスに転向しトップクラスに入った事実が挙げられる。
*まるで...ラマヌジャンじゃん!!
脳が生み出したこの世のゲームにピッタリ最適化された頭脳の持ち主の出現が起こりうるんですよね☆
記事とは関係ないんだけど...最高の頭脳が作動してる時の雰囲気をば♪
自分の凡才であることの証明はできたわけだけど....^^;...で...
調べた ^^;v
「ウィルソンの定理は、フェルマーの小定理ほど有名ではなく、なんの役に立つのかもちょっとよく分からない内容ですが、小定理に劣らず美しい形ですし、素数と階乗というそれぞれ特殊な数ふたつを、剰余を仲立ちにつないでいる点で、純粋に数の性質や不思議さを楽しむうえでとても面白い性質といえます。素数は自分自身と1以外の約数を持たない数であり、階乗は逆に自分以下のすべての数を約数に持つ数です。このうち、階乗の側については、（P-1）より大きくしてしまうと、法の素数自身が入ってしまって割り切れてしまいますから、「自分の余りで作った」というところがミソです。
・・・
*最後の式が成り立つとすると...a=2 のときだけ...つまり...p=3 のときで、2^2≡1 mod 3
ってのは、フェルマーの定理ですけど...一般にはいえないことがわかりますね ^^
おまりが２種類あるはずはないもんね !!
「フェルマーの定理 ｐ が有理素数で、ａ が ｐ とは互いに素な自然数とするとき、
ａｐ−1 ≡ １ （ｍｏｄ ｐ） （証明） ２項定理より、 （ｍ＋ｎ）ｐ≡ｍｐ＋ｎｐ （ｍｏｄ ｐ） は明らかであろう。 これを一般化して、 （ｍ＋・・・＋ｎ）ｐ≡ｍｐ＋・・・＋ｎｐ （ｍｏｄ ｐ） が成り立つ。 ｍ＝・・・＝ｎ＝１ （ａ 個）とすれば、 ａｐ≡ａ （ｍｏｄ ｐ） である。 ここで、 ａ は ｐ とは互いに素な自然数なので、 ａｐ−1≡１ （ｍｏｄ ｐ） （証終） ・・・
フェルマーの定理より、方程式 ａｘ≡１ （ｍｏｄ ｐ）を満たす自然数解が存在するので、
そのうちの最小の自然数解を、ｅ とすると、 ｐ−1 は、ｅ で割り切れる。 さらに、ｅ の最小性から、 ａ0 、ａ1 、ａ2 、・・・、ａｅ−1 は、ｐ を法として合同にはなりえない。 特に、ｅ＝ｐ−１ のとき、 ａ を ｐ を法としての原始根（または、ｐ の原始根）という。 ・・・
例 ｐ＝７ のとき、 １ に対する ｅ ＝ １ 、２ に対する ｅ ＝ ３ 、３ に対する ｅ ＝ ６ 、
４ に対する ｅ ＝ ３ 、５ に対する ｅ ＝ ６ 、６ に対する ｅ ＝ ２ 以上から、７の原始根は、２個あり、 ３ と ５ である。 ここで、自然数 １、２、３、・・・、ｎ の中で、ｎ と互いに素な数の個数は、φ（ｎ）で表される。 この関数を、オイラーの関数という。 例 φ（１）＝１、φ（２）＝１、φ（３）＝２、φ（４）＝２、φ（５）＝４、φ（６）＝２、φ（７）＝６ オイラーの関数について、次の性質が成り立つ。 （１） 有理素数 ｐ に対して、 φ（ｐ）＝ｐ−１ 特に、φ（ｐｎ）＝ｐｎ−ｐｎ−1 （２） ａ と ｂ が互いに素ならば、 φ（ａｂ）＝φ（ａ）φ（ｂ） （証明） （１）は、明らかであろう。 （２）は、次のように示される。 ａ より小さい数で、ａ と互いに素な数は、φ（ａ）個あり、その一つを、α とおく。 このとき、 ｂ 個の数 α、α＋ａ、α＋２ａ、・・・、α＋（ｂ−1）ａ を考える。 これらは、何れも ｂ を法として合同でない。 したがって、 ａｂ と互いに素な数は全部で、φ（ａ）×φ（ｂ）個あるので、 φ（ａｂ）＝φ（ａ）φ（ｂ） が成り立つ。（証終） 例 φ（２）＝２−１＝１ 、φ（３）＝３−１＝２ 、φ（４）＝φ（２2）＝４−２＝２、 φ（６）＝φ（２）φ（３）＝１×２＝２ オイラーの関数 φ（ｎ） を用いると、上記で述べたことは、次のようにも言い換えることができる。 ｐ が有理素数で、ａ が ｐ とは互いに素な自然数とするとき、 ａφ（ｐ） ≡ １ （ｍｏｄ ｐ） この合同式を満たすφ（ｎ）が最小のものであるとき、ａ を、ｐ の原始根という。 もし、原始根が存在すれば、それは、φ（ｐ−1）個存在する。 原始根の一つを、ｇ （ｇ≠１）とすれば、 １、ｇ、ｇ2、ｇ3、・・・、ｇｐ−2 は、互いに合同でない ｐ−１ 個の数で、いずれも ｐ では割り切れない。 ・・・
いま、ａ を ｐ とは互いに素な任意の自然数とするとき、上記のことから、
ｇｅ ≡ ａ （ｍｏｄ ｐ） となる ｅ （０≦ ｅ ＜ｐ−1 ）がただ一つ存在する。このとき、 ｅ ＝ ｉｎｄｇ（ａ） で表し、原始根 ｇ を底とする ａ の指数（ｉｎｄｅｘ）という。 ・・・
定理 有理素数 ｐ は、ｐ≠２ とする。このとき、任意の原始根 ｇ に対して、
ｉｎｄｇ（−１） ≡ （ｐ−１）/２ （ｍｏｄ ｐ−１） （証明） 原始根 ｇ の定義より、 ｇｐ−1 ≡ １ （ｍｏｄ ｐ） が成り立つ。このとき、 ｇｐ−1−１ ≡ (ｇ(ｐ−１)/2−１)(ｇ(ｐ−１)/2＋１) ≡ ０ （ｍｏｄ ｐ） において、 ｇ(ｐ−１)/2−１ ≡ ０ （ｍｏｄ ｐ）とはなり得ないので、 ｇ(ｐ−１)/2＋１ ≡ ０ （ｍｏｄ ｐ） より、 ｇ(ｐ−１)/2 ≡ −１ （ｍｏｄ ｐ） したがって、 ｉｎｄｇ（−１） ≡ （ｐ−１）/２ （ｍｏｄ ｐ−１） が成り立つ。（証終） 例 指数表で、ｉｎｄ3（６） ≡ ３ （ｍｏｄ ６） であるが、６ ≡ −１ （ｍｏｄ ７）なので、 確かに、 ｉｎｄ3（−１） ≡ （７−１）/２ （ｍｏｄ ６） が成り立っている。 この定理を用いると、次の定理が得られる。 定理（ウィルソン） 有理素数 ｐ に対して、 （ｐ−１）！≡ −１ （ｍｏｄ ｐ） （証明） ｐ＝２ のときは、明らかに成り立つので、以下では、ｐ＞２ とする。 原始根 ｇ を用いて、（ｐ−１）！ ≡ ｇ0+1+2+・・・+(p-2) ≡ ｇ(p-2)(p-1)/2 （ｍｏｄ ｐ） と書ける。 上記の定理より、 ｇ(ｐ−１)/2 ≡ −１ （ｍｏｄ ｐ） なので、ｐ＞２ より、
（ｐ−１）！ ≡ （−１）(p-2)≡ （−１）p≡ −１ （ｍｏｄ ｐ） （証終） 単に、この定理を証明するだけだったら、次のようにした方が分かりやすいだろう。 （別証） 素数 ｐ が ２ の場合は、明らかに成り立つ。
奇素数 ｐ に対して、フェルマーの定理より、１≦ｋ≦ｐ−１となる任意の整数 ｋ に対して、 ｋｐ−１≡１ （ｍｏｄ ｐ） が成り立つ。
したがって、多項式Ｆ（Ｘ）＝Ｘｐ−１−１ において、 Ｆ（１）≡０ 、 Ｆ（２）≡０ 、・・・、 Ｆ（ｐ−１）≡０ （ｍｏｄ ｐ） よって、 Ｆ（Ｘ）≡(Ｘ−１)(Ｘ−２)・・・(Ｘ−ｐ＋１) （ｍｏｄ ｐ） と因数分解される。 そこで、Ｘ＝０ を代入すると、 （−１）ｐ−１・（ｐ−１）！≡−１ （ｍｏｄ ｐ） ｐ は奇数なので、 （−１）ｐ−１＝１ よって、（ｐ−１）！≡−１ （ｍｏｄ ｐ） が成り立つ。 （別証終） *これがわかりやすい☆ （コメント） ウィルソンの定理は逆も成り立つ。 すなわち、 （ｐ−１）！ ≡ −１ （ｍｏｄ ｐ） ならば、 ｐ は有理素数 （証明） ｐ が有理素数でないとすると、２つの自然数 ｍ 、ｎ （２ ≦ ｍ 、ｎ ＜ ｐ）を用いて、 ｐ ＝ ｍｎ と書ける。このとき、ｍ は（ｐ−１）！ の約数で、（ｐ−１）！ ＋１ の約数にはなり得ないので、 ｐ は、（ｐ−１）！ ＋１ の約数になり得ない。
これは、条件に矛盾する。 よって、ｐ は素数でなければならない。 （証終） 例 ｐ＝７ のとき、 （ｐ−１）！＝６！＝７２０ ＝１０３×７−１ ≡ −１ （ｍｏｄ ７）」 *奥深し...!!. 象を撫でてる気がする...^^; |
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
|
マザーテレサの言葉として人口に膾炙してるこの言葉のルーツは...実は別の方のものでしたのね☆
「sgi_515_2109_1さんより...
エリ・ヴィーゼル（米国のユダヤ人作家、ルーマニア出身、ノーベル平和賞受賞者、1928〜）
「人々の無関心は常に攻撃者の利益になることを忘れてはいけない。」
↑
*これって、まさに投票/政治行動に言えることですよね!!
（全文）
今日我われは知っている。
愛の反対は憎しみではない。
無関心である。
信頼の反対は傲慢ではない。
無関心である。
文化の反対は無知ではない。
無関心である。
芸術の反対は醜さではない。
無関心である。
平和の反対は、平和と戦争に対する無関心である。
無関心が悪なのである。
無関心は精神の牢獄であり、我われの魂の辱めなのだ
A・S・ニイルの言葉 「愛の反対は憎しみではない。愛の反対は無関心である」 Mother Teresa の言葉 『愛の反対は憎しみではない 無関心だ』 無関心であること、苦しむ者に関わりを持たずに傍観者であることが、愛の対極にあるという。」 画像：http://nikkidoku.exblog.jp/17942489/ より 拝借 Orz〜
http://ja.wikipedia.org/wiki/エリ・ヴィーゼル より Orz〜
「エリ・ヴィーゼル（Elie Wiesel, 1928年9月30日 - ）は、ルーマニア出身のアメリカのユダヤ人作家。自らのホロコースト体験を自伝的に記し、1986年にノーベル平和賞を受賞した。現在、ボストン大学教授。」
http://ja.wikipedia.org/wiki/A・S・ニイル より Orz〜
「A・S・ニイル（Alexander Sutherland Neill、1883年10月17日 - 1973年9月23日）は、イギリスの新教育運動の教育家。エディンバラ大学に学び、1912年、修士号を取得。1914年、スコットランドのグレトナ・グリーンスクールの校長になる。
ドイツの改革教育運動の影響を強く受け、1921年 ドイツ ドレスデン郊外のヘレナウで新しい学校を創立。この学校はのちに彼の妻になるノイシュタッターと共にオーストリアに移り、その後、1923年 南イングランドのライム・レギスに移り、そこで本格的に教育活動が始まる。サマーヒル・スクールという名でこの学校は、「世界で一番自由な学校」として知られている。ニイルの「子どもを学校に合わすのではなく、学校を子どもに合わせる」という言葉は有名。彼の著作集は邦訳がある。邦訳者の堀真一郎も、大阪市立大学の教授のポストを捨てて、自ら、きのくに子どもの村小学校（現在・きのくに子どもの村学園）を創立している。ニイルは、子供の幸福こそ、子供のしつけや養育の中で最も重要なものと見なされるべきであり、この幸福への最も主要な寄与は、子供にその個人的な自由を最大限認めてやることだと考えていた。コレは、当時としてはかなり議論の余地のあるところで、彼の見解はあまりにラディカルで、包括的過ぎるとして一般にはほとんど賛同を得られるものではなかった。
彼は、児童期のおけるこうした自由の感覚を奪い取ったり、抑圧された子供の徹底した不幸せ感が、すべてとまではいわないものの、成人の大多数の心理的な不調の原因とになっていると考えた。
ニイルは、そこでサマーヒル・スクールには、子供が授業に出るように一切強要することをしない、という原則を設けた。加えて、この学校は民主的で、すべてのものごとは生徒、教師の全員参加の会議で決められ、生徒も教師と同様の一票の権利を与えられている。
多くの人は、この学校がこれまで成功してきたことは、子供に試練や厳しい生き残りのチャンス、残忍さ、暴政、そして混乱を経験するための処方として自由を与えると言うウィリアム・ゴールディングの『蝿の王』のやり方を断固として排除してきたからだ、と考えている。
ニイルの信念を持った彼のサマーヒルでの経験が教えてくれるのは、個人の自由から生まれる自己への信頼は、学業成績の遅れや自己中心性、わがままを齎(もたら)すというどころか、学習への動機付けや授業への出席率が、多くの場合、権威的な教育の場合の子供達の場合と悪くても同じくらいの高さになったということである。サマーヒルの生徒たちのほかの生徒や大人たちへの態度は、現実にはかなり大人びていて、個人個人の責任をよく自覚しているように見受けられる。彼らの権威に対する態度は、素朴に度外視しているというほどではないが、敬意を表しているというよりは、やや懐疑的である。 こうした傾向は、たぶんサマーヒルが受け容れている子供たちが、しばしば問題をはらんだ背景をもった子供達が多いということも考慮に入れなくてはならないだろう。たとえば、両親の不仲とか、ネグレクトとか、それがもとで心の中に殺伐としたものを抱えていたりするといった事情である。・・・」 *逆転の発想だけど...生徒に対して無関心じゃないことはたしかですね☆
|
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
|
半径が13の円Cと半径が19の円Dを２点で交わるように配置し、その交点をA，Bとします。
いま、Bを通る直線と円CのB以外の交点をP，円DのB以外の交点をQ として、△APQを描きます。
△APQの面積を最大にするように C，D，P，Q を決めるとき、CD＝？
解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32044473.html より Orz〜 [解答1]
C，Dが決まれば、∠APB，∠AQB は一定ですので、どのように △APQ を描いても相似になります。 従って、AP，AQ がそれぞれの円の直径のときに △APQの面積が最大になります。 このとき、△APQ＝4△ACD で、AC＝13，AD＝19 だから、この面積を最大にするとき、∠CAD＝90ﾟ です。 従って、CD＝√(132＋192)＝√530 になります。 ☆ 相似に気付かなくても、AP，AQ を直径にすれば PQ はBを通り、 さらに ∠PAQ＝90ﾟ にすれば、△APQの面積は最大になります。
[解答2] uch*n*anさんの検算用 AB と CD の交点を O(0，0)，A(0，a)，B(0，−a)，C(−c，0)，D(d，0)， 円C，円D の半径を r，R，a，c，d，r，R は正の実数，r≦R，とします。 円C：(x＋c)2＋y2＝r2，円D：(x−d)2＋y2＝R2，より，c2＋a2＝r2 ，d2＋a2＝R2 また，m を実数として，直線 PQ は，y＝mx−a，と書けるので，r，R の条件式も使って， Pのｘ座標＝2(ma−c)/(m2＋1) ，Qのｘ座標＝2(ma＋d)/(m2＋1) そこで，△APQ＝AB･{−(Pのｘ座標)＋(Qのｘ座標)}/2＝2a(c＋d)/(m2＋1) m は a，c，d とは独立に変化可能なので，m＝0 のときに最大値 2a(c＋d) をとります。 さらに，コーシー・シュワルツの不等式より， 2a(c＋d)＝2(ca＋ad)≦2√(c2＋a2)√(a2＋d2)＝2√(r2)√(R2)＝2rR 等号は，c/a＝a/d，cd＝a2，で成立します。 このとき，c2＋cd＝r2 ，d2＋cd＝R2 ，c/d＝r2/R2， c＝r2/√(r2＋R2) ，d＝R2/√(r2＋R2) ，a＝rR/√(r2＋R2) となり，実現可能です。 そして，CD＝c＋d＝r2/√(r2＋R2)＋R2/√(r2＋R2)＝√(r2＋R2) この問題では，r＝13，R＝19，なので，CD＝√(132＋192)＝√(169＋361)＝√530 になります。 ちなみに，△APQ の最大値は 2rR＝2･13･19＝494 です。 [解答3] Nemoさんのコメントより 円Cの半径を r ，円Dの半径を R ，∠ACD＝φ ，∠ADC＝Φ ，∠ABP＝θ とおきます。 まず、ABを底辺としたとき、△APB，△AQBの高さの和が最大になるθを求めます。 正弦定理より、PB＝2r･sin(π−θ−φ)＝2r･sin(θ＋φ)，BQ＝2R･sin(θ−Φ) となるので、 高さの和は {2r･sin(θ＋φ)＋2R･sin(θ−Φ)}sinθ ＝2(r･sinθcosφ＋r･cosθsinφ＋R･sinθcosΦ−R･cosθsinΦ)sinθ ＝2(r･cosφ＋R･cosΦ)sin2θ (∵ r･sinφ＝R･sinΦ＝AB/2) よって、θ＝π/2 のときに最大になります。 このとき、∠ABP＝∠QBA＝π/2 となるので、AP，AQはそれぞれの円の直径になり、AP＝2r，AQ＝2R 、 この条件下で△APQの面積が最大になるのは、∠PAQ＝∠CAD＝π/2 のとき。 よって、CD＝√(CA2＋AD2)＝√(r2＋R2)＝√530 です。 [解答4] sbr*d4*5さんのコメントより B から CD と平行な線を引き 円C，円Dとの交点をそれぞれ E， F とし ∠EAP＝∠EBP＝∠FBQ＝∠FAQ＝θ とすると 四角形APEBでトレミーの定理を使って、 AE･PB＝EB･AP＋AB･PE 、AE･PB＝EB･(AE･cosθ)＋AB･(AE･sinθ) 、PB＝EB･cosθ＋AB･sinθ 、 四角形ABQFでトレミーの定理を使って AF･QB＝FB･AQ−AB･QF 、AF･QB＝FB･(AF･cosθ)−AB･(AF･sinθ) 、QB＝FB･cosθ−AB･sinθ 、 △PBA， △QAB で AB を底辺とする高さはそれぞれ PB･cosθ， BQ･cosθ これらより △APQ＝(1/2)･AB･(PB＋BQ)cosθ＝(1/2)･AB･(EB･cosθ＋AB･sinθ＋FB･cosθ−AB･sinθ)cosθ ＝(1/2)･AB･(EB＋FB)cos2θ＝(1/2)･AB･EF･cos2θ よって θ＝0 のとき すなわち PQがEFと一致し，∠CAD＝90ﾟ のとき最大値となる。 CD＝√(AC2＋AD2)＝√(132＋192)＝√530 と なりました。 *解法１以外なかなかついていけないわたし...^^;...Orz〜
わたしのアバウトなもの...^^;
明らかに、お互いの直径が辺になり直角になる場合だから...
CD^2=13^2+19^2=530 CD=√530 |
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
|
k=1〜∞ のときの次の値を求めよ。
Σ[ k,j=1〜∞ ] (1/{(4k-1)(4j-3)})
-Σ[ k=1〜∞, j=2〜∞, k<j ] ((1/{(4k-1)(4j-1)})+(1/{(4k-3)(4j-3)})) = ?
解答
いずれまた ^^
鍵コメ様のご指摘で最初の式は嘘でした...Orz〜
こんどは合ってるかなぁ...^^;...
奇麗な式にならないからつまらないな...
一応わたしが考えた背景...といってもごく単純なことですけど...^^;
1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/9^2+...
=Σ[k=1~∞] (1/(2k-1)^2)
=ζ(2)-(1/2^2+1/4^2+1/6^2+...)
=ζ(2)-(1/4)ζ(2)
=(3/4)ζ(2)
=(3/4)(π^2/6)
=π^2/8
いっぽう、
グレゴリー・ライプニッツの定理より...
1-1/3+1/5-1/7+1/9-...
=Σ[k=0~∞] ){(-1)^(k+1)*(1/(2k-1)}
=π/4
ここで、
(1-1/3+1/5-1/7+1/9-...)^2=π^2/16 なので...
Σ(1/(2k-1)^2)-{Σ(-1)^(k+1)*(1/(2k-1)}^2=π^2/16
=(1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/9^2+...)-(1-1/3+1/5-1/7+1/9-...)^2
=ー2*{(1*(1/5+1/9+...)+(1/5)*(1/9+1/13+...)+(1/9)*(1/13+1/17+...)+...
+(1/3)*(1/7+1/11+1/15+...)+(1/7)*(1/11+1/15+1/19)+...)
ー(1*(1/3+1/7+1/11+...)+(1/3)*(1/5+1/9+1/13+...)+...)}
すなわち...
Σ[ k,j=1〜∞ ] (1/{(4k-1)(4j-3)})-Σ[ k=1〜∞, j=2〜∞, k<j ] ((1/{(4k-1)(4j-1)})+(1/{(4k-3)(4j-3)})) =π^2/32 ってなるかなと...?
もっとシンプルな式にできないのか知らん...^^;...
Σ[k,j=0~∞] ((-1)^(k+j) (1/{2(2k-1)(2j-1)}) - 1/(2k-1)^2)
と表せばよかったのかな？
|
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
