アットランダム≒ブリコラージュ

√π...☆

http://ja.wikipedia.org/wiki/ガウス積分 より Orz〜

このグラフの赤い面積=√π

らしい☆

「ガウス積分（Gaussian integral）あるいはオイラー-ポワソン積分（オイラーポワソンせきぶん、英: Euler–Poisson integral）はガウス関数 exp(−x²) の実数直線全体に亙る（両側無限）積分

http://upload.wikimedia.org/math/5/9/c/59c942f1d22a97132ce15fe083f1f10e.png

である。名称は、数学・物理学者のカール・フリードリヒ・ガウスに由来する。

この積分の応用は広い。例えば、変数の微小変化に伴う正規分布の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、誤差函数や正規分布の累積分布函数とも深く関連する。

誤差函数を表す初等函数は存在しないけれども、リッシュのアルゴリズムによって微分積分学の道具立てを用いてガウス積分の値が解析的に求まることが証明できる。つまり、http://upload.wikimedia.org/math/a/a/e/aae86349889cca8c60746290f1fe6ecd.png に対する初等的な不定積分は存在しないけれど、定積分 http://upload.wikimedia.org/math/7/9/5/795bce0682a5f10b20daf83764a2055e.png は評価することができるのである。

ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が場の量子論に現れる。・・・

直交座標を用いて 

ガウス積分を計算する別な方法として、以下は Laplace (1812) にまで遡れる^[3]。

http://upload.wikimedia.org/math/1/1/8/118deceed4548a9b4c8b5e8cd02bfb2f.png

と置くと、y を ±∞ へ近づけるとき s の極限は x の符号で決まるから、exp(−x²) が偶函数ゆえに実数全体に亙る積分が正の実数全体に亙る積分の2倍となること、つまり

http://upload.wikimedia.org/math/5/f/0/5f071750e1a8aa5ab9f627e7888dfb8e.png

であることを利用すれば計算が簡単になる。即ち、積分範囲を x ≥ 0 に限れば、変数 y と s とは同じ極限を持ち、

http://upload.wikimedia.org/math/d/1/5/d15c2589b14ca7389be69d673ee245fd.png

が成り立つ。故に

http://upload.wikimedia.org/math/9/8/e/98e0816a531264f1a91aaa6aad700d41.png

となり、所期の I = √π を得る。

ガンマ関数との関係 

被積分関数が偶関数ゆえ

http://upload.wikimedia.org/math/d/3/7/d37d6a97a460bea43b8dc5d9d02b3b6e.png

が成り立ち、これに変数変換 x = t^1/2 を行えばオイラー積分

http://upload.wikimedia.org/math/b/3/0/b30ed231eb38033f796f04c559f53872.png

が得られる。ここで γ はガンマ関数。この式は、半整数値の階乗が √π の有理数倍となる理由を示している。」

よくわからないままアップしてますが...^^;

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...

というライプニッツの公式なんですよねぇ♪

http://ja.wikipedia.org/wiki/ライプニッツの公式 より Orz〜

「ライプニッツの公式（Leibniz formula）とは円周率の値を求めるための公式の一つである。以下の級数で表される。

http://upload.wikimedia.org/math/e/c/a/ecadca40eb4de5c857bdcd24c811ff1d.png

これは初項が1で各項が奇数の逆数である交項級数が π/4 （=0.785398…）に収束することを意味する。総和の記号を用いると以下のようになる。

http://upload.wikimedia.org/math/b/2/4/b24aabaa98daf4b84b8564b55819c959.png

この公式を名付けたのはライプニッツであるが、これはすでに15世紀のインドの数学者マーダヴァ(en)がライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すためにマーダヴァ-ライプニッツ級数と呼ばれることもある。

証明 

三角関数の一つ tanθ をθについて微分すると

http://upload.wikimedia.org/math/f/2/1/f2119b2be46dd4d826e97c2ab27c4a6f.png

となる。ここで tanθ=x とおくと

http://upload.wikimedia.org/math/e/0/7/e07bdd1a4eecbd47129ef5f84d6e9cdd.png

が導かれる。

また以下の等比無限級数を考える。

http://upload.wikimedia.org/math/a/8/a/a8a6dd7a36df1ae57040eab9e815a3c7.png

左辺は公比が -x² であり、|-x²|<1 すなわち |x|<1 のとき 1/(1+x²) に収束する。 (1),(2)式から

http://upload.wikimedia.org/math/c/b/f/cbfb627f64e0f9a9d8cd762d3fc13852.png

が得られる。この両辺をxについて形式的に不定積分すれば

http://upload.wikimedia.org/math/2/a/4/2a4629f75fb4a091982e9a3000e01ec0.png

となる。tanθ=x としたので θ=π/4 のとき x=1 である。これを利用して(3)式に θ=π/4 と x=1 を代入すると

http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcbab1c0ca168bccb2730d3c365f3d7e.png

という式が表れる。ただし x=1 は |x|<1 の条件に反するので(3)式に x=1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている。・・・」

三角関数がすべて...有理関数で洗わせることに関わってるみたいで...

http://araischool.seesaa.net/category/8853037-2.html より 引用 Orz〜

「以下は「楕円曲線論入門」足立恒雄著からの引用です。

x=cosθ
y=sinθ
t=tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)
とおいてみると
cos,sin,tanの半角公式を用いて
x=cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
y=sinθ=2t/(1+t^2)

確認したいsin,cosの複雑な恒等式があったなら、この公式を代入し、ｔのべき乗でまとめ０であることを見れば事足りるのである。

（高等学校でこれを教わっていれば、３角関数の恒等式などみな、自明な代数の演習になってしまったのだった。）
この公式によって角度がθであるすべての３角関数をt=tan(θ/2)によって有理的に表せることから、もう１つの利用法が生れる。

まず
θ＝2Arctan(t)
dθ＝2dt/(1+t^2)

*確認してみた ^^

tan(θ/2)=t=sinθ/(1+cosθ)

θ/2=arctan(t)

sinθ=2t / (1+t^2)

cosθ*dθ=(2/(1+t^2)-4t^2 /(1+t^2)^2)*dt

(1-t^2)/(1+t^2)*dθ = ((2(1-t^2)/(1+t^2)^2)*dt

dθ=2dt/(1+t^2)

but...覚えられないなぁ...^^;

に注意する。
cos,sin,dθが含まれる積分があるとき、上の置き換えによってｔとｄｔの積分に変形する。

積分がsinとcosとの有理関数であるならば、明らかに、ｔの有理関数の積分に変形される。

有理関数は、初等関数で積分できるのだから、sinとcosの有理関数は、初等関数として積分可能であることになる。」

お洒落なカステラ☆

このあいだ帰ってた娘の友人のお土産 ☆

長崎のカステラとは見ただけじゃ想像できなかったぁ〜♪

見た目は大事？

格好(髪型・服装)に無頓着だと言われちゃうわたしだけど...^^

こういうのにも...おやっ？って気になるんだから...

自己流ってだけだと思いたい...^^;v

5593：頭の体操 ^^...△の面積の半分...

問題5593・・・ROSA STONEさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/rosa_stone_jagger/23661788.html  より Orz〜

ＡＢ＝３ｃｍ,  ＢＣ＝４ｃｍ ,  ＣＡ＝５ｃｍ の三角形ＡＢＣにおいて、

ＢＣ＝ＣＤとなるように辺ＡＣ上に点Ｄをとります。

次に、辺ＤＥによって三角形ＡＢＣの面積が２等分されるように辺ＢＣ上に

点Ｅをとるとき、辺ＢＥの長さを求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（東大寺学園中／２０年　問題より）

解答

・わたしの...

5*4/2=4*x

x=2.5

4-2.5=1.5 cm

♪

算数じゃないなぁ...^^;...

華麗な解法は以下のサイトへ Go〜♪

http://blogs.yahoo.co.jp/rosa_stone_jagger/23885615.html

5592：頭の体操 ^^...ベクトルの和=0...

問題5592(むかし問題集で解いたもの...^^;)

ベクトルを(x)で表す。

△ABC内に点Oを取り、

(1)

(OP)=3(OA), (OQ)=4(OB), (OR)=5(OC)

3(OA)+4(OB)+5(OC)=0

のとき、△ABCの面積は△PQRの何倍？

(2)

(OP)=-3(OA), (OQ)=-4(OB), (OR)=-5(OC)

3(OA)+4(OB)+5(OC)=0

のとき、△ABCの面積は△PQRの何倍？

解答

・わたしの...

(1)

Oは△PQRの重心ということなので...

△OPQ=△OQR=△ORP=1

(1/3)(1/4)+(1/4)(1/5)+(1/5)(1/3)=12/60=1/5

♪

3*4*x=4*5*y=3*5*z=1

として、

x+y+z を求めても同じですね ^^

↑

鍵コメT様からのご指摘(Orz〜)で間違いに気づきました ^^; 〜m(_ _);m〜

↓

△PQR=3だから...

△ABC/△PQR=1/15

でしたぁ〜 ^^;v

(2)

重心は中線の(2/3)なので...

(1/(3-1/3))(1/(4-1/3))+(1/(4-1/3))(1/(5-1/3))+(1/(5-1/3))(1/(3-1/3))= 27/112

になりますよね？

↑

これは間違ってますね...^^;...Orz...

想定図は下の図です...

OA=OP/3, OB=OQ/4, OC=OR/5

△P'Q'R'=△PQR/4

OA/OP'=2OA/OP=2/3

OB/OQ'=2OB/OQ=2/4

OC/OR'=2OC/OR=2/5

つまり...

△ABC={((2/3)(1/2)+((1/2)(2/5)+(2/5)(2/3)}*△P'Q'R'=(4/15)*△P'Q'R'=(4/15)*(△PQR/4)=△PQR/15

けっきょく...同じ比率になってしまうのねぇ...?...^^;

・wkf*h0*6さんからのもの Orz〜

*紙背が読めればいいのだけど...^^;...

5591：頭の体操 ^^...三角形の拡大...

問題5591・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

三角形ＡＢＣの辺ＡＢをＢの方へＡＢの４倍だけのばした点をＤ、ＢＣをＣの方へＢＣの２倍だけのばした点をＥ、ＣＡをＡの方へＣＡの２倍だけのばした点をＦとすると、三角形ＤＥＦの面積は三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

解答

・わたしの...

この図で一目瞭然ですね ^^

2*5+2*3+4*3+1=10+6+12+1=29 倍