アットランダム≒ブリコラージュ

5647：角の二等分線...

問題5647・・・ヤドカリさんの記事 http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32157672.html  にちなんで Orz〜...作ってみました ^^

△ABCにおいて、角Aが鋭角のとき...AB=5, AC=3のとき、角Aの二等分線の長さは最大でもある値を超えることがありません。その値を求めてください。

☆ヤドカリさんの記事で扱われている図を拝借 Orz〜☆

解答

・わたしの想定していたもの...^^;

BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos2θ

BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cosθ

DC^2=AC^2+AD^2-2AC*AD*cosθ

2BD*DC=-2AD^2-2AB*AC*(2(cosθ)^2-1)+2AD*(AB+AC)*cosθ

AD^2=AB*AC-BD*DC-2AB*AC*(cosθ)^2+AD*(AB+AC)*cosθ

ここで、上の定理から...

AD^2=AB*AC-BD*DC なので...

cosθ=AD*(AB+AC)/(2AB*AC)

で表せることになり...

AB=5,AD=3,AC=4 は...3*9/(2*20)<1で、ありえるけど、

AB=5, AD=4, AC=3 は...4*8/(2*15)>1 で存在しないのね ^^;

だからどうしたですけど...Orz〜

けっきょく...5,3の場合は...8*AD/30<1...AD<30/8=15/4=3.75 でなきゃ存在できず...

5,4なら...9*AD/40<1...AD<40/9=4.44...なら存在できるんですね？

ってなことでしたぁ...Orz〜

・鍵コメT様からのもの Orz〜

∠Aが鋭角ということなので，角の2等分線長には，下限も存在します．

角の2等分線長をxとし，∠Aの大きさを2θとする．
面積を2通りに表して，(1/2)*3*5*sin2θ=(1/2)*(3+5)x*sinθ.
これよりx=(15/4)cosθとなって，0<θ<π/4から，
15/(4√2)<x<15/4.

2辺が4,5なら，(20/9)√2<x<40/9,
a,bなら(ab√2)/(a+b)<x<(2ab)/(a+b)となりますね．

*この問題に関しては、ずっと簡明に出せるんですね☆

グラッッチェ〜m(_ _)m〜☆

相加相乗平均に似た式あるね...たまたまなんだろか...？

期間限定バージョンにゃ弱い...^^;

午前外来のあと回診すませて知人との遅いランチに行った...

ペルー産のヒーコ!! 期間限定☆

目が点になってしまうのはわたしの弱点...^^;

早速それを所望...but...いつものとどこが違うのかわからなかったりした...^^;;

この世のあらゆるものを味わい尽くしたいという鬼のようなよくの塊のわたしゃ...いつも...

このフレーズに誘われてしまうのよねぇ...

再びUターンしてこれから...書類の山を制覇しなきゃなんない...

登頂に何時間かかることやら...無酸素登頂で耐えれるだろか...^^;...?